Giải tích Ví dụ

$y = \arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\arctan (\frac{x}{6}) + \frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{x}{6})]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \arctan (x)$ và $g (x) = \frac{x}{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{x}{6}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\arctan (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2.2

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x}{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} (\frac{1}{6} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2.4

Nhân $\frac{1}{6}$ với $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}} \cdot \frac{1}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2.5

Nhân $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{6})}^{2}}$ với $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{(1 + {(\frac{x}{6})}^{2}) \cdot 6} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 2.6

Di chuyển $6$ sang phía bên trái của $1 + {(\frac{x}{6})}^{2}$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{3 x - 7}{6 (x^{2} + 3)}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 7}{x^{2} + 3}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = 3 x - 7$ và $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 7] - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.4

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.6

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.7

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 3$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.9

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.10

Nhân $3$ với $1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.11

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.12

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $x^{2} + 3$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.13

Cộng $2 x$ và $0$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 7) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.14

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{1}{6} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 3.15

Nhân $\frac{1}{6}$ với $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{1}{6 (1 + {(\frac{x}{6})}^{2})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{x}{6}$ .

$\frac{1}{6 (1 + \frac{x^{2}}{6^{2}})} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 7) x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{6 \cdot 1 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.1

Nhân $6$ với $1$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{6^{2}}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.2

Nâng $6$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{6 + 6 \frac{x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.3

Kết hợp $6$ và $\frac{x^{2}}{36}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $36$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 (x^{2})}{36}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.4.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $36$ .

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6 + \frac{6 x^{2}}{6 \cdot 6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.5

Nhân $3$ với $3$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.6

Nhân $3$ với $- 2$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x \cdot x - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.8

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 (x^{1} x^{1}) - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.9

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{1 + 1} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.10

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 7 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.11

Nhân $- 2$ với $- 7$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.12

Trừ $6 x^{2}$ khỏi $3 x^{2}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.13

Để viết $\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Bước 4.6.14

Để viết $\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ .

$\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}} \cdot \frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

Bước 4.6.15

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $(6 + \frac{x^{2}}{6}) \cdot 6 {(x^{2} + 3)}^{2}$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.6.15.1

Nhân $\frac{1}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ với $\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}} \cdot \frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$

Bước 4.6.15.2

Nhân $\frac{- 3 x^{2} + 9 + 14 x}{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}$ với $\frac{6 + \frac{x^{2}}{6}}{6 + \frac{x^{2}}{6}}$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

Bước 4.6.15.3

Sắp xếp lại các thừa số của $(6 + \frac{x^{2}}{6}) (6 {(x^{2} + 3)}^{2})$ .

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2}}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})} + \frac{(- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$

Bước 4.6.16

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 {(x^{2} + 3)}^{2} + (- 3 x^{2} + 9 + 14 x) (6 + \frac{x^{2}}{6})}{6 {(x^{2} + 3)}^{2} (6 + \frac{x^{2}}{6})}$