Giải tích Ví dụ

$2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$

Bước 1

Hoàn thành bình phương cho $2 x^{2} + x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Bước 1.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 1.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 1.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Bước 1.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 1.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Bước 1.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Bước 1.4.2.2

Trừ $\frac{1}{8}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Bước 1.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Bước 2

Thay $2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ cho $2 x^{2} + x$ trong phương trình $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9$

Bước 3

Di chuyển $- \frac{1}{8}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{1}{8}$ vào cả hai vế.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + y + z = 9 + \frac{1}{8}$

Bước 4

Hoàn thành bình phương cho $2 y^{2} + y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Bước 4.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 4.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 4.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Bước 4.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 4.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Bước 4.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Bước 4.4.2.2

Trừ $\frac{1}{8}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Bước 4.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Bước 5

Thay $2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ cho $2 y^{2} + y$ trong phương trình $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8}$

Bước 6

Di chuyển $- \frac{1}{8}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{1}{8}$ vào cả hai vế.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Bước 7

Hoàn thành bình phương cho $2 z^{2} + z$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 2$

$b = 1$

$c = 0$

Bước 7.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 7.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Bước 7.3.2

Nhân $2$ với $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Bước 7.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{1^{2}}{4 \cdot 2}$

Bước 7.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.4.2.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$e = 0 - \frac{1}{4 \cdot 2}$

Bước 7.4.2.1.2

Nhân $4$ với $2$ .

$e = 0 - \frac{1}{8}$

Bước 7.4.2.2

Trừ $\frac{1}{8}$ khỏi $0$ .

$e = - \frac{1}{8}$

Bước 7.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ .

$2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$

Bước 8

Thay $2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8}$ cho $2 z^{2} + z$ trong phương trình $2 x^{2} + 2 y^{2} + 2 z^{2} + x + y + z = 9$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{8} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Bước 9

Di chuyển $- \frac{1}{8}$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $\frac{1}{8}$ vào cả hai vế.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$

Bước 10

Rút gọn $9 + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{1 + 1 + 1}{8}$

Bước 10.2

Rút gọn bằng cách cộng các số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Cộng $1$ và $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{2 + 1}{8}$

Bước 10.2.2

Cộng $2$ và $1$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 + \frac{3}{8}$

Bước 10.3

Để viết $9$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = 9 \cdot \frac{8}{8} + \frac{3}{8}$

Bước 10.4

Kết hợp $9$ và $\frac{8}{8}$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8}{8} + \frac{3}{8}$

Bước 10.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{9 \cdot 8 + 3}{8}$

Bước 10.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Nhân $9$ với $8$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{72 + 3}{8}$

Bước 10.6.2

Cộng $72$ và $3$ .

$2 {(x + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(y + \frac{1}{4})}^{2} + 2 {(z + \frac{1}{4})}^{2} = \frac{75}{8}$

Bước 11