Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3}}{5 + x^{3}}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = 5 + x^{3}$ .

$\frac{(5 + x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}] - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{(5 + x^{3}) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $5 + x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [5 + x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 2.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $5 + x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 2.4

Vì $5$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $5$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x^{3}])}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 2.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 2.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - x^{3} (3 x^{2})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{3} x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 3

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 (x^{2} x^{3})}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 3.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{2 + 3}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 3.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{3 (5 + x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{(3 \cdot 5 + 3 x^{3}) x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{3 \cdot 5 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.1

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{3} x^{2} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.3.1.2

Nhân $x^{3}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1.2.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 (x^{2} x^{3}) - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.3.1.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{2 + 3} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.3.1.2.3

Cộng $2$ và $3$ .

$\frac{15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.3.2

Kết hợp các số hạng đối nhau trong $15 x^{2} + 3 x^{5} - 3 x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.2.1

Trừ $3 x^{5}$ khỏi $3 x^{5}$ .

$\frac{15 x^{2} + 0}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.3.2.2

Cộng $15 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{15 x^{2}}{{(5 + x^{3})}^{2}}$

Bước 4.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{15 x^{2}}{{(x^{3} + 5)}^{2}}$