Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) e^{x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x^{2} - 1$ và $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} (2 x) d x$

Bước 2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x)$

Bước 3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} e^{x} (x) d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Bước 5

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$(x^{2} - 1) e^{x}]_{0}^{1} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $(x^{2} - 1) e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 6.2

Tính $x e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 6.3

Tính $e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$((1^{2} - 1) e^{1}) - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(1 - 1) e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.5

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$0 e^{1} - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.6

Rút gọn.

$0 e - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.7

Nhân $0$ với $e$ .

$0 - (0^{2} - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$0 - (0 - 1) e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.9

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$0 - - 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$0 + 1 e^{0} - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.11

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$0 + 1 \cdot 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.12

Nhân $1$ với $1$ .

$0 + 1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.13

Cộng $0$ và $1$ .

$1 - 2 ((1 e^{1}) + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.14

Rút gọn.

$1 - 2 (1 e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.15

Nhân $e$ với $1$ .

$1 - 2 (e + 0 e^{0} - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.16

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - 2 (e + 0 \cdot 1 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.17

Nhân $0$ với $1$ .

$1 - 2 (e + 0 - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.18

Cộng $e$ và $0$ .

$1 - 2 (e - ((e^{1}) - e^{0}))$

Bước 6.19

Rút gọn.

$1 - 2 (e - (e - e^{0}))$

Bước 6.20

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1 \cdot 1))$

Bước 6.21

Nhân $- 1$ với $1$ .

$1 - 2 (e - (e - 1))$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$1 - 2 (e - (e - 1))$

Dạng thập phân:

$- 1$