Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}}$

Bước 1

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt[5]{8 x^{2} - 2}$ ở dạng ${(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}]$

Bước 1.2

Viết lại $\frac{1}{{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}}}$ ở dạng ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}]$

Bước 1.3

Nhân các số mũ trong ${({(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{1}{5} \cdot - 1}]$

Bước 1.3.2

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1}{5}}]$

Bước 1.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{d}{d x} [{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- \frac{1}{5}}$ và $g (x) = 8 x^{2} - 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $8 x^{2} - 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $8 x^{2} - 2$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $5$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 6.2

Trừ $5$ khỏi $- 1$ .

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{- 6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 7

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{1}{5} {(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 7.2

Kết hợp ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ và $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{{(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 7.3

Di chuyển ${(8 x^{2} - 2)}^{- \frac{6}{5}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} \frac{d}{d x} [8 x^{2} - 2]$

Bước 8

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $8 x^{2} - 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (\frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 9

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 11

Nhân $2$ với $8$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + \frac{d}{d x} [- 2])$

Bước 12

Vì $- 2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 2$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x + 0)$

Bước 13

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Cộng $16 x$ và $0$ .

$- \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} (16 x)$

Bước 13.2

Nhân $16$ với $- 1$ .

$- 16 \frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Bước 13.3

Kết hợp $- 16$ và $\frac{1}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ .

$\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}} x$

Bước 13.4

Kết hợp $\frac{- 16}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$ và $x$ .

$\frac{- 16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$

Bước 13.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{16 x}{5 {(8 x^{2} - 2)}^{\frac{6}{5}}}$