Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} - \frac{1}{64}}$

Bước 1

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để viết $x^{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot \frac{64}{64} - \frac{1}{64}}$

Bước 1.2

Kết hợp $x^{2}$ và $\frac{64}{64}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64}{64} - \frac{1}{64}}$

Bước 1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{\frac{x^{2} \cdot 64 - 1}{64}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn đối số giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} (x + 8 x^{2}) \frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 2.1.2

Nhân $x + 8 x^{2}$ với $\frac{64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$ .

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{(x + 8 x^{2}) \cdot 64}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 2.2

Chuyển số hạng $64$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 8 x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.2

Chuyển số hạng $8$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$64 \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.4

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- \frac{1}{8}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.4.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- \frac{1}{8}$ cho $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.4.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- \frac{1}{8}$ cho $x$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- \frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.5.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.5.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.1.3

Nhân $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ với $1$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8^{2}}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.1.4

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.2.5.1.4.1

Đưa $8$ ra ngoài $8^{2}$ .

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.1.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + 8 \frac{1^{2}}{8 \cdot 8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.1.4.3

Viết lại biểu thức.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1^{2}}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.1.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$64 \frac{- \frac{1}{8} + \frac{1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$64 \frac{\frac{- 1 + 1}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.3

Cộng $- 1$ và $1$ .

$64 \frac{\frac{0}{8}}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.2.5.4

Chia $0$ cho $8$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - 1}$

Bước 3.1.3

Tính giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} \cdot 64 - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Bước 3.1.3.1.2

Chuyển số hạng $64$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$64 \frac{0}{64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Bước 3.1.3.1.3

Đưa số mũ $2$ từ $x^{2}$ ra ngoài giới hạn bằng quy tắc lũy thừa của giới hạn.

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}$

Bước 3.1.3.1.4

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(lim_{x \to - \frac{1}{8}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- \frac{1}{8}$ cho $x$ .

$64 \frac{0}{64 {(- \frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.3.1.1

Sử dụng quy tắc lũy thừa ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ để phân phối các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.3.1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $- \frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{8})}^{2} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.1.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{8}$ .

$64 \frac{0}{64 {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.2

Nâng $- 1$ lên lũy thừa $2$ .

$64 \frac{0}{64 \cdot 1 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.3

Nhân $\frac{1^{2}}{8^{2}}$ với $1$ .

$64 \frac{0}{64 \frac{1^{2}}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$64 \frac{0}{64 \frac{1}{8^{2}} - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.5

Nâng $8$ lên lũy thừa $2$ .

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.6

Triệt tiêu thừa số chung $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.3.3.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$64 \frac{0}{64 (\frac{1}{64}) - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.6.2

Viết lại biểu thức.

$64 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Bước 3.1.3.3.1.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

$64 \frac{0}{1 - 1}$

Bước 3.1.3.3.2

Trừ $1$ khỏi $1$ .

$64 (\frac{0}{0})$

Bước 3.1.3.3.3

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$64 (\frac{0}{0})$

Bước 3.1.3.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$64 (\frac{0}{0})$

Bước 3.1.4

Biểu thức chứa một phép chia cho $0$ . Biểu thức không xác định.

Không xác định

$64 (\frac{0}{0})$

Bước 3.2

Vì $\frac{0}{0}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{x + 8 x^{2}}{x^{2} \cdot 64 - 1} = lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x + 8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 8 x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3.4

Tính $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.4.1

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $8 x^{2}$ đối với $x$ là $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 8 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3.4.3

Nhân $2$ với $8$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{1 + 16 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64 - 1]}$

Bước 3.3.6

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} \cdot 64 - 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 3.3.7

Tính $\frac{d}{d x} [x^{2} \cdot 64]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Di chuyển $64$ sang phía bên trái của $x^{2}$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{\frac{d}{d x} [64 \cdot x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 3.3.7.2

Vì $64$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $64 x^{2}$ đối với $x$ là $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 3.3.7.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{64 \cdot 2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 3.3.7.4

Nhân $2$ với $64$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Bước 3.3.8

Vì $- 1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 1$ đối với $x$ là $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x + 0}$

Bước 3.3.9

Cộng $128 x$ và $0$ .

$64 lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{128 x}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Chuyển số hạng $\frac{1}{128}$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) lim_{x \to - \frac{1}{8}} \frac{16 x + 1}{x}$

Bước 4.2

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Bước 4.3

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{lim_{x \to - \frac{1}{8}} 16 x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Bước 4.4

Chuyển số hạng $16$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + lim_{x \to - \frac{1}{8}} 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Bước 4.5

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $- \frac{1}{8}$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 lim_{x \to - \frac{1}{8}} x + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Bước 5

Tính các giới hạn bằng cách điền vào $- \frac{1}{8}$ cho tất cả các lần xảy ra của $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- \frac{1}{8}$ cho $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{lim_{x \to - \frac{1}{8}} x}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $x$ bằng cách điền vào $- \frac{1}{8}$ cho $x$ .

$64 (\frac{1}{128}) \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Triệt tiêu thừa số chung $64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Đưa $64$ ra ngoài $128$ .

$64 \frac{1}{64 (2)} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Bước 6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$64 \frac{1}{64 \cdot 2} \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Bước 6.1.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{16 (- \frac{1}{8}) + 1}{- \frac{1}{8}}$

Bước 6.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{1}{2} ((16 (- \frac{1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Bước 6.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1.1

Di chuyển dấu âm đầu tiên trong $- \frac{1}{8}$ vào tử số.

$\frac{1}{2} ((16 (\frac{- 1}{8}) + 1) (- 1 \cdot 8))$

Bước 6.3.1.2

Đưa $8$ ra ngoài $16$ .

$\frac{1}{2} ((8 (2) \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Bước 6.3.1.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} ((8 \cdot 2 \frac{- 1}{8} + 1) (- 1 \cdot 8))$

Bước 6.3.1.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} ((2 \cdot - 1 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Bước 6.3.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} ((- 2 + 1) (- 1 \cdot 8))$

Bước 6.4

Cộng $- 2$ và $1$ .

$\frac{1}{2} (- 1 (- 1 \cdot 8))$

Bước 6.5

Nhân $- 1 (- 1 \cdot 8)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.5.1

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{1}{2} (- 1 \cdot - 8)$

Bước 6.5.2

Nhân $- 1$ với $- 8$ .

$\frac{1}{2} \cdot 8$

Bước 6.6

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (4))$

Bước 6.6.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 4)$

Bước 6.6.3

Viết lại biểu thức.

$4$