Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))}$

Bước 1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Bước 1.2

Khi $x$ tiến dần đến $\infty$ đối với các căn thức, thì giá trị sẽ trở thành $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (\ln (x))}$

Bước 1.3

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 2

Vì $\frac{\infty}{\infty}$ ở dạng không xác định, nên ta áp dụng quy tắc L'Hôpital. Quy tắc L'Hôpital khẳng định rằng giới hạn của một thương của các hàm số bằng giới hạn của thương của các đạo hàm của chúng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln (\ln (x))} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.4

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.5

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.6

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.7

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.7.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.9.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]}$

Bước 3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \ln (x)$ và $g (x) = \ln (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.10.2

Đạo hàm của $\ln (u)$ đối với $u$ là $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.10.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)]}$

Bước 3.11

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x)} \cdot \frac{1}{x}}$

Bước 3.12

Nhân $\frac{1}{\ln (x)}$ với $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{\ln (x) x}}$

Bước 3.13

Sắp xếp lại các số hạng.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{x \ln (x)}}$

Bước 4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (x \ln (x))$

Bước 5

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (x \ln (x))$

Bước 6

Kết hợp các thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2 \sqrt{x}} \ln (x)$

Bước 6.2

Kết hợp $\frac{x}{2 \sqrt{x}}$ và $\ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}}$

Bước 7

Áp dụng quy tắc l'Hôpital

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Lấy giới hạn của tử số và giới hạn của mẫu số.

$\frac{lim_{x \to \infty} x \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Bước 7.1.2

Tính giới hạn của tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Bước 7.1.2.1.2

Giới hạn ở vô cực của một đa thức có hệ số của số hạng cao nhất dương là vô cực.

$\frac{\infty \cdot lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Bước 7.1.2.2

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$\frac{\infty \cdot \infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Bước 7.1.2.3

Vô cùng nhân vô cùng là vô cùng.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2 \sqrt{x}}$

Bước 7.1.3

Vì hàm số $\sqrt{x}$ tiến dần đến $\infty$ , hằng số dương $2$ nhân với hàm số tiến dần đến $\infty$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.3.1

Xét giới hạn với bội số không đổi $2$ đã bị loại bỏ.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \sqrt{x}}$

Bước 7.1.3.2

Khi $x$ tiến dần đến $\infty$ đối với các căn thức, thì giá trị sẽ trở thành $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 7.1.3.3

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 7.1.4

Vô cùng chia cho vô cùng là không xác định.

Không xác định

$\frac{\infty}{\infty}$

Bước 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x \ln (x)}{2 \sqrt{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3

Tìm đạo hàm của tử số và mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Tính đạo hàm tử số và mẫu số.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc tích số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ là $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ trong đó $f (x) = x$ và $g (x) = \ln (x)$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.3

Đạo hàm của $\ln (x)$ đối với $x$ là $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.4

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.5

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.5.2

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.7

Nhân $\ln (x)$ với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x}]}$

Bước 7.3.8

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x}$ ở dạng $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{2}}]}$

Bước 7.3.9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{\frac{1}{2}}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}$

Bước 7.3.10

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}$

Bước 7.3.11

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}$

Bước 7.3.12

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}$

Bước 7.3.13

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}$

Bước 7.3.14

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.14.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}$

Bước 7.3.14.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}$

Bước 7.3.15

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}$

Bước 7.3.16

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{2 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Bước 7.3.17

Kết hợp $2$ và $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2 x^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Bước 7.3.18

Di chuyển $x^{- \frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 7.3.19

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{2}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 7.3.20

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 + \ln (x)}{\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$

Bước 7.4

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) x^{\frac{1}{2}}$

Bước 7.5

Viết lại $x^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to \infty} (1 + \ln (x)) \sqrt{x}$

Bước 8

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tích của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{x \to \infty} 1 + \ln (x) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Bước 8.2

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$(lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Bước 8.3

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$(1 + lim_{x \to \infty} \ln (x)) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Bước 9

Vì logarit tiến dần đến vô cực, nên giá trị tiến đến $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot lim_{x \to \infty} \sqrt{x}$

Bước 10

Khi $x$ tiến dần đến $\infty$ đối với các căn thức, thì giá trị sẽ trở thành $\infty$ .

$(1 + \infty) \cdot \infty$

Bước 11

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\infty \cdot \infty$

Bước 11.2

Vô cùng nhân vô cùng là vô cùng.

$\infty$