Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x^{2} + 2 x}}{x}$

Bước 1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x^{2} + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x$ ra ngoài $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + 2 x}}{x}$

Bước 1.2

Đưa $x$ ra ngoài $2 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x) + x \cdot 2}}{x}$

Bước 1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x (5 x) + x \cdot 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (5 x + 2)}}{x}$

Bước 2

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{x}{x}}$

Bước 3

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x^{2}}}}{1}$

Bước 4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

Bước 4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (5 x + 2)}{x \cdot x}}}{1}$

Bước 4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{1}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 5.2

Di chuyển giới hạn vào dưới dấu căn.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 x + 2}{x}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 6

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 x}{x} + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.1.2

Chia $5$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{5 + \frac{2}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.5

Tính giới hạn của $5$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 7.6

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 8

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Bước 9.2

Tính giới hạn của $1$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{5 + 2 \cdot 0}{1}}}{1}$

Bước 9.3

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Chia $5 + 2 \cdot 0$ cho $1$ .

$\frac{\sqrt{5 + 2 \cdot 0}}{1}$

Bước 9.3.2

Chia $\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$ cho $1$ .

$\sqrt{5 + 2 \cdot 0}$

Bước 9.3.3

Nhân $2$ với $0$ .

$\sqrt{5 + 0}$

Bước 9.3.4

Cộng $5$ và $0$ .

$\sqrt{5}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\sqrt{5}$

Dạng thập phân:

$2.23606797 \dots$