Giải tích Ví dụ

$\int \frac{2 t^{3} + 1}{{(t^{4} + 2 t)}^{3}} d t$

Bước 1

Giả sử $u = t^{4} + 2 t$ . Sau đó $d u = (4 t^{3} + 2) d t$ , nên $\frac{1}{2} d u = (2 t^{3} + 1) d t$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = t^{4} + 2 t$ . Tìm $\frac{d u}{d t}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $t^{4} + 2 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4} + 2 t]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $t^{4} + 2 t$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [2 t]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 t^{3} + 2 \frac{d}{d t} [t]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 t^{3} + 2 \cdot 1$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $1$ .

$4 t^{3} + 2$

Bước 1.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$\int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Di chuyển $u^{3}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Bước 4.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Bước 4.2.2

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{- 3} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 3}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Viết lại $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$ ở dạng $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{u^{2}}) + C$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{2}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u^{2} \cdot 2}) + C$

Bước 6.2.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 \cdot u^{2}}) + C$

Bước 6.2.3

Nhân $\frac{1}{2}$ với $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 u^{2})} + C$

Bước 6.2.4

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{1}{4 u^{2}} + C$

Bước 7

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $t^{4} + 2 t$ .

$- \frac{1}{4 {(t^{4} + 2 t)}^{2}} + C$