Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2} + 20 x}{4 x^{2} + 9}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{20 x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \frac{20 x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.1.1.2

Chia $3$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20 x}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $x$ và $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $20 x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 20}{x^{2}}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 20}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{x \cdot 20}{x \cdot x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20}{x}}{\frac{4 x^{2}}{x^{2}} + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.2.2

Chia $4$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{20}{x}}{4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{20}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{20}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.5

Tính giới hạn của $3$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{3 + lim_{x \to \infty} \frac{20}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 2.6

Chuyển số hạng $20$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 + 20 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 4

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 4.2

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{9}{x^{2}}}$

Bước 4.3

Chuyển số hạng $9$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{4 + 9 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Bước 5

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{3 + 20 \cdot 0}{4 + 9 \cdot 0}$

Bước 6

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Nhân $20$ với $0$ .

$\frac{3 + 0}{4 + 9 \cdot 0}$

Bước 6.1.2

Cộng $3$ và $0$ .

$\frac{3}{4 + 9 \cdot 0}$

Bước 6.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Nhân $9$ với $0$ .

$\frac{3}{4 + 0}$

Bước 6.2.2

Cộng $4$ và $0$ .

$\frac{3}{4}$

Bước 7

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{3}{4}$

Dạng thập phân:

$0.75$