Giải tích Ví dụ

$2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$

Bước 1

Viết $2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int 2 x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Bước 5

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x d x + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Bước 7

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 \int x^{3} d x + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int \sqrt{x^{3}} d x + \int 8 d x$

Bước 9

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{x^{3}}$ ở dạng $x^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int 8 d x$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{\frac{3}{2}}$ đối với $x$ là $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Bước 11.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int 8 d x$

Bước 12

Áp dụng quy tắc hằng số.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + 8 x + C$

Bước 13

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Rút gọn.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + 8 x + C$

Bước 13.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = 2 x + 4 x^{3} + \sqrt{x^{3}} + 8$ .

$F (x) =$ $x^{2} + x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + 8 x + C$