Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{a} \frac{x^{3}}{\sqrt{a^{4} + x^{4}}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = a^{4} + x^{4}$ . Sau đó $d u = 4 x^{3} d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = a^{4} + x^{4}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $a^{4} + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4} + x^{4}]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $a^{4} + x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [a^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.1.3

Vì $a^{4}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $a^{4}$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Bước 1.1.5

Cộng $0$ và $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0^{4}$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = a^{4} + 0$

Bước 1.3.2

Cộng $a^{4}$ và $0$ .

$u_{lower} = a^{4}$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = a^{4} + x^{4}$ .

$u_{upper} = a^{4} + a^{4}$

Bước 1.5

Cộng $a^{4}$ và $a^{4}$ .

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = a^{4}$

$u_{upper} = 2 a^{4}$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{4}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 4} d u$

Bước 2.2

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{4 \sqrt{u}} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 4

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 4.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 4.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 4.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{4} \int_{a^{4}}^{2 a^{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{a^{4}}^{2 a^{4}}$

Bước 6

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $2 a^{4}$ và tại $a^{4}$ .

$\frac{1}{4} ((2 {(2 a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 a^{4}$ .

$\frac{1}{4} (2 {(2 (a^{4}))}^{\frac{1}{2}} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 (a^{4})$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} {(a^{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.3

Nhân các số mũ trong ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{4 (\frac{1}{2})}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 (2) \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (2 (2^{\frac{1}{2}} a^{2}) - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + 1} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.6

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{1 + 2}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.8

Cộng $1$ và $2$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 {(a^{4})}^{\frac{1}{2}})$

Bước 6.2.9

Nhân các số mũ trong ${(a^{4})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{4 (\frac{1}{2})})$

Bước 6.2.9.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 (2) \frac{1}{2}})$

Bước 6.2.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2 \cdot 2 \frac{1}{2}})$

Bước 6.2.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2} - 2 a^{2})$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2}) + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Bước 7.2

Nhân $\frac{1}{4} (2^{\frac{3}{2}} a^{2})$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Kết hợp $2^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4} a^{2} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Bước 7.2.2

Kết hợp $\frac{2^{\frac{3}{2}}}{4}$ và $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{4} (- 2 a^{2})$

Bước 7.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (- 2 a^{2})$

Bước 7.3.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- a^{2}))$

Bước 7.3.3

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- a^{2}))$

Bước 7.3.4

Viết lại biểu thức.

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} + \frac{1}{2} (- a^{2})$

Bước 7.4

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $a^{2}$ .

$\frac{2^{\frac{3}{2}} a^{2}}{4} - \frac{a^{2}}{2}$