Giải tích Ví dụ

$y = x^{3} + 3 x^{2} + 1$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x^{3} + 3 x^{2} + 1)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{3} + 3 x^{2} + 1$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{3}] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d y} [x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{3}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x$ .

$3 x^{2} \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.2.2

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$3 x^{2} x' + \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d y} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $y$ là $3 \frac{d}{d y} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} x' + 3 \frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = y^{2}$ và $g (y) = x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 u_{2} \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 x \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.3.3

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$3 x^{2} x' + 3 (2 x x') + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.3.4

Nhân $2$ với $3$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + \frac{d}{d y} [1]$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $1$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $1$ đối với $y$ là $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' + 0$

Bước 3.4.2

Cộng $3 x^{2} x' + 6 x x'$ và $0$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = 3 x^{2} x' + 6 x x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$ .

$3 x^{2} x' + 6 x x' = 1$

Bước 5.2

Đưa $3 x x'$ ra ngoài $3 x^{2} x' + 6 x x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Đưa $3 x x'$ ra ngoài $3 x^{2} x'$ .

$3 x x' x + 6 x x' = 1$

Bước 5.2.2

Đưa $3 x x'$ ra ngoài $6 x x'$ .

$3 x x' x + 3 x x' \cdot 2 = 1$

Bước 5.2.3

Đưa $3 x x'$ ra ngoài $3 x x' x + 3 x x' \cdot 2$ .

$3 x x' (x + 2) = 1$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $3 x x' (x + 2) = 1$ cho $3 x (x + 2)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 x x' (x + 2) = 1$ cho $3 x (x + 2)$ .

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 x x' (x + 2)}{3 x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x x' (x + 2)}{x (x + 2)} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Bước 5.3.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Bước 5.3.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $x + 2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x' (x + 2)}{x + 2} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Bước 5.3.2.3.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{3 x (x + 2)}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{3 x (x + 2)}$