Giải tích Ví dụ

$0 = - 2 y^{2} + x^{3} - 5 y^{3}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- 2 y^{2} + x^{3} - 5 y^{3})$

Bước 2

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 2 y^{2} + x^{3} - 5 y^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 2 y^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 2 y^{2}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $y$ .

$- 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $y$ .

$- 2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.2.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.2.4

Nhân $2$ với $- 2$ .

$- 4 y y' + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- 5 y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 5 y^{3}$ đối với $x$ là $- 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $y$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $y$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Bước 3.4.3

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 5 (3 y^{2} y')$

Bước 3.4.4

Nhân $3$ với $- 5$ .

$- 4 y y' + 3 x^{2} - 15 y^{2} y'$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$0 = 3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y'$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y' = 0$ .

$3 x^{2} - 4 y y' - 15 y^{2} y' = 0$

Bước 5.2

Trừ $3 x^{2}$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$- 4 y y' - 15 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Bước 5.3

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 4 y y' - 15 y^{2} y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 4 y y'$ .

$y y' \cdot - 4 - 15 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Bước 5.3.2

Đưa $y y'$ ra ngoài $- 15 y^{2} y'$ .

$y y' \cdot - 4 + y y' (- 15 y) = - 3 x^{2}$

Bước 5.3.3

Đưa $y y'$ ra ngoài $y y' \cdot - 4 + y y' (- 15 y)$ .

$y y' (- 4 - 15 y) = - 3 x^{2}$

Bước 5.4

Chia mỗi số hạng trong $y y' (- 4 - 15 y) = - 3 x^{2}$ cho $y (- 4 - 15 y)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.1

Chia mỗi số hạng trong $y y' (- 4 - 15 y) = - 3 x^{2}$ cho $y (- 4 - 15 y)$ .

$\frac{y y' (- 4 - 15 y)}{y (- 4 - 15 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Bước 5.4.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y y' (- 4 - 15 y)}{y (- 4 - 15 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Bước 5.4.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y' (- 4 - 15 y)}{- 4 - 15 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Bước 5.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $- 4 - 15 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y' (- 4 - 15 y)}{- 4 - 15 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Bước 5.4.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Bước 5.4.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 4 - 15 y)}$

Bước 5.4.3.2

Viết lại $- 4$ ở dạng $- 1 (4)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (4) - 15 y)}$

Bước 5.4.3.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 15 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (4) - (15 y))}$

Bước 5.4.3.4

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (4) - (15 y)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (- 1 (4 + 15 y))}$

Bước 5.4.3.5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.4.3.5.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$

Bước 5.4.3.5.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$

Bước 5.4.3.5.3

Nhân $\frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$ với $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{y (4 + 15 y)}$