Giải tích Ví dụ

$x \sqrt{1 - x}$

Bước 1

Viết $x \sqrt{1 - x}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = x \sqrt{1 - x}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int x \sqrt{1 - x} d x$

Bước 4

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = \sqrt{1 - x}$ .

$x (- \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{2}{3}$ .

$x (- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5.2

Kết hợp $x$ và $\frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{x ({(1 - x)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 5.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 6

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- \frac{2}{3}$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (- \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + 1 (\frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x)$

Bước 7.2

Nhân $\frac{2}{3}$ với $1$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} d x$

Bước 8

Giả sử $u = 1 - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Hãy đặt $u = 1 - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Tính đạo hàm $1 - x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x]$

Bước 8.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 8.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x]$

Bước 8.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x]$

Bước 8.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Bước 8.1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$0 - 1$

Bước 8.1.4

Trừ $1$ khỏi $0$ .

$- 1$

Bước 8.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} \int - u^{\frac{3}{2}} d u$

Bước 9

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{3}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C))$

Bước 11

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Kết hợp $\frac{2}{5}$ và $u^{\frac{5}{2}}$ .

$- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$

Bước 11.2

Viết lại $- \frac{x (2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}})}{3} + \frac{2}{3} (- (\frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5} + C))$ ở dạng $- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$ .

$- \frac{2}{3} x {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $x$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{3} {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 11.3.2

Kết hợp ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ và $\frac{x \cdot 2}{3}$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (x \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 11.3.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $x$ .

$- \frac{{(1 - x)}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot x)}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 11.3.4

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của ${(1 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 11.3.5

Kết hợp $u^{\frac{5}{2}}$ và $\frac{2}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} + \frac{2}{3} (- \frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}) + C$

Bước 11.3.6

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{u^{\frac{5}{2}} \cdot 2}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{2 (u^{\frac{5}{2}} \cdot 2)}{3 \cdot 5} + C$

Bước 11.3.7

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{3 \cdot 5} + C$

Bước 11.3.8

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11.3.9

Để viết $- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11.3.10

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.10.1

Nhân $\frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11.3.10.2

Nhân $3$ với $5$ .

$- \frac{2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5}{15} - \frac{4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11.3.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 2 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x \cdot 5 - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 11.3.12

Nhân $5$ với $- 2$ .

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 u^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 12

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $1 - x$ .

$\frac{- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}}{15} + C$

Bước 13

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$

Bước 14

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = x \sqrt{1 - x}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{15} (- 10 {(1 - x)}^{\frac{3}{2}} x - 4 {(1 - x)}^{\frac{5}{2}}) + C$