Giải tích Ví dụ

$y = \sec^{2} (x)$ , $y = 8 \cos (x)$ , $- \frac{π}{3} \leq x \leq \frac{π}{3}$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$

Bước 1.2

Giải $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ cho $\sec^{2} (x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Chia mỗi số hạng trong $\sec^{2} (x) = 8 \cos (x)$ cho $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 1.2.1.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $\sec^{2} (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\sec^{2} (x)}{\sec^{2} (x)} = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 1.2.1.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec^{2} (x)}$

Bước 1.2.1.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.1

Đưa $\sec (x)$ ra ngoài $\sec^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8 \cos (x)}{\sec (x) \sec (x)}$

Bước 1.2.1.3.2

Tách các phân số.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)}$

Bước 1.2.1.3.3

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Bước 1.2.1.3.4

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos (x) \cos (x))$

Bước 1.2.1.3.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.5.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos (x))$

Bước 1.2.1.3.5.2

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 1.2.1.3.5.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 = \frac{8}{\sec (x)} {\cos (x)}^{1 + 1}$

Bước 1.2.1.3.5.4

Cộng $1$ và $1$ .

$1 = \frac{8}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Bước 1.2.1.3.6

Tách các phân số.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)} \cos^{2} (x)$

Bước 1.2.1.3.7

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$1 = \frac{8}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}} \cos^{2} (x)$

Bước 1.2.1.3.8

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 = \frac{8}{1} (1 \cos (x)) \cos^{2} (x)$

Bước 1.2.1.3.9

Nhân $\cos (x)$ với $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos (x) \cos^{2} (x)$

Bước 1.2.1.3.10

Nhân $\cos (x)$ với $\cos^{2} (x)$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.10.1

Di chuyển $\cos^{2} (x)$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos (x))$

Bước 1.2.1.3.10.2

Nhân $\cos^{2} (x)$ với $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.3.10.2.1

Nâng $\cos (x)$ lên lũy thừa $1$ .

$1 = \frac{8}{1} (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x))$

Bước 1.2.1.3.10.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$1 = \frac{8}{1} {\cos (x)}^{2 + 1}$

Bước 1.2.1.3.10.3

Cộng $2$ và $1$ .

$1 = \frac{8}{1} \cos^{3} (x)$

Bước 1.2.1.3.11

Chia $8$ cho $1$ .

$1 = 8 \cos^{3} (x)$

Bước 1.2.2

Viết lại phương trình ở dạng $8 \cos^{3} (x) = 1$ .

$8 \cos^{3} (x) = 1$

Bước 1.2.3

Trừ $1$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$8 \cos^{3} (x) - 1 = 0$

Bước 1.2.4

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.1

Viết lại $8 \cos^{3} (x)$ ở dạng ${(2 \cos (x))}^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1 = 0$

Bước 1.2.4.2

Viết lại $1$ ở dạng $1^{3}$ .

${(2 \cos (x))}^{3} - 1^{3} = 0$

Bước 1.2.4.3

Vì cả hai số hạng đều là các số lập phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai lập phương, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ trong đó $a = 2 \cos (x)$ và $b = 1$ .

$(2 \cos (x) - 1) ({(2 \cos (x))}^{2} + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 1.2.4.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.4.4.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 \cos (x)$ .

$(2 \cos (x) - 1) (2^{2} \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 1.2.4.4.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Bước 1.2.4.4.3

Nhân $2$ với $1$ .

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1^{2}) = 0$

Bước 1.2.4.4.4

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$

Bước 1.2.5

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0 + y = 8 \cos (x)$

Bước 1.2.6

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng $0$ và giải tìm $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $2 \cos (x) - 1$ bằng với $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Bước 1.2.6.2

Giải $2 \cos (x) - 1 = 0$ để tìm $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.1

Cộng $1$ cho cả hai vế của phương trình.

$2 \cos (x) = 1$

Bước 1.2.6.2.2

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 \cos (x) = 1$ cho $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.6.2.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.2.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.6.2.2.2.1.2

Chia $\cos (x)$ cho $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Bước 1.2.7

Đặt $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ bằng $0$ và giải tìm $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đặt $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1$ bằng với $0$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$

Bước 1.2.7.2

Giải $4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1 = 0$ để tìm $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Sử dụng công thức bậc hai để tìm các đáp án.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 8 \cos (x)$

Bước 1.2.7.2.2

Thay các giá trị $a = 4$ , $b = 2$ , và $c = 1$ vào công thức bậc hai và giải tìm $\cos (x)$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (4 \cdot 1)}}{2 \cdot 4} + y = 8 \cos (x)$

Bước 1.2.7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.3.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.3.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.2.2

Nhân $- 16$ với $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.3.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.3.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 1.2.7.2.3.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.4

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $+$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.4.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.4.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.4.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.2.2

Nhân $- 16$ với $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.4.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.4.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 1.2.7.2.4.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.4.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $+$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.4.5

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.4.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{4}$

Bước 1.2.7.2.4.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{4}$

Bước 1.2.7.2.4.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.5

Rút gọn biểu thức để giải tìm phần $-$ của $\pm$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.5.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.5.1.1

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.2

Nhân $- 4 \cdot 4 \cdot 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.5.1.2.1

Nhân $- 4$ với $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16 \cdot 1}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.2.2

Nhân $- 16$ với $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.3

Trừ $16$ khỏi $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.4

Viết lại $- 12$ ở dạng $- 1 (12)$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.5

Viết lại $\sqrt{- 1 (12)}$ ở dạng $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.6

Viết lại $\sqrt{- 1}$ ở dạng $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.7

Viết lại $12$ ở dạng $2^{2} \cdot 3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.5.1.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.7.2

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.8

Đưa các số hạng dưới căn thức ra ngoài.

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.1.9

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $i$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 4}$

Bước 1.2.7.2.5.2

Nhân $2$ với $4$ .

$\cos (x) = \frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$

Bước 1.2.7.2.5.3

Rút gọn $\frac{- 2 \pm 2 i \sqrt{3}}{8}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.5.4

Chuyển đổi $\pm$ thành $-$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.5.5

Viết lại $- 1$ ở dạng $- 1 (1)$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.5.6

Đưa $- 1$ ra ngoài $- i \sqrt{3}$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{4}$

Bước 1.2.7.2.5.7

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$\cos (x) = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{4}$

Bước 1.2.7.2.5.8

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.7.2.6

Câu trả lời cuối cùng là sự kết hợp của cả hai đáp án.

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.8

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $(2 \cos (x) - 1) (4 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) + 1) = 0$ đúng.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$

Bước 1.2.9

Lập từng đáp án để giải tìm $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4} + y = 8 \cos (x)$

Bước 1.2.10

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Bước 1.2.10.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.2.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Bước 1.2.10.3

Hàm cosin dương ở góc phần tư thứ nhất và thứ tư. Để tìm đáp án thứ hai, hãy trừ góc tham chiếu khỏi $2 π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ tư.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Bước 1.2.10.4

Rút gọn $2 π - \frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.4.1

Để viết $2 π$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 1.2.10.4.2

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.4.2.1

Kết hợp $2 π$ và $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Bước 1.2.10.4.2.2

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Bước 1.2.10.4.3

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.4.3.1

Nhân $3$ với $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Bước 1.2.10.4.3.2

Trừ $π$ khỏi $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Bước 1.2.10.5

Tìm chu kỳ của $\cos (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.10.5.1

Chu kỳ của hàm số có thể được tính bằng $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Bước 1.2.10.5.2

Thay thế $b$ với $1$ trong công thức cho chu kỳ.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Bước 1.2.10.5.3

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $1$ là $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Bước 1.2.10.5.4

Chia $2 π$ cho $1$ .

$2 π$

Bước 1.2.10.6

Chu kỳ của hàm $\cos (x)$ là $2 π$ nên các giá trị sẽ lặp lại sau mỗi $2 π$ radian theo cả hai hướng.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.2.11

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.11.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$

Bước 1.2.11.2

Cosin nghịch đảo của $\arccos (- \frac{1 - i \sqrt{3}}{4})$ là không xác định.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Bước 1.2.12

Giải tìm $x$ trong $\cos (x) = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.12.1

Lấy cosin nghịch đảo của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong cosin.

$x = \arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$

Bước 1.2.12.2

Cosin nghịch đảo của $\arccos (- \frac{1 + i \sqrt{3}}{4})$ là không xác định.

$Undefined + y = 8 \cos (x)$

Bước 1.2.13

Liệt kê tất cả các đáp án.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , cho mọi số nguyên $n$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = \frac{π}{3} + 2 π n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $\frac{π}{3} + 2 π n$ bằng $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ bằng $x$ .

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n)$

Bước 1.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{π}{3} + 2 π n), x = \frac{π}{3} + 2 π n$

$y = 8 \cos (\frac{5 π}{3} + 2 π n), x = \frac{5 π}{3} + 2 π n$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- \frac{π}{3}$ và $\frac{π}{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - (\sec^{2} (x)) d x$

Bước 3.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Viết lại $\sec (x)$ theo sin và cosin.

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 3.2.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.2.3

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \frac{1}{\cos^{2} (x)} d x$

Bước 3.3

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$8 \cos (x) - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$ ở dạng ${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$ .

$8 \cos (x) - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Bước 3.3.3

Quy đổi từ $\frac{1}{\cos (x)}$ sang $\sec (x)$ .

$8 \cos (x) - \sec^{2} (x)$

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) - \sec^{2} (x) d x$

Bước 3.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} 8 \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Bước 3.5

Vì $8$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $8$ ra khỏi tích phân.

$8 \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \cos (x) d x + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Bước 3.6

Tích phân của $\cos (x)$ đối với $x$ là $\sin (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) + \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} - \sec^{2} (x) d x$

Bước 3.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - \int_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (x) d x$

Bước 3.8

Vì đạo hàm của $\tan (x)$ là $\sec^{2} (x)$ , tích phân của $\sec^{2} (x)$ là $\tan (x)$ .

$8 (\sin (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}}) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Bước 3.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.1

Tính $\sin (x)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $- \frac{π}{3}$ .

$8 ((\sin (\frac{π}{3})) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (x)]_{- \frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}})$

Bước 3.9.1.2

Tính $\tan (x)$ tại $\frac{π}{3}$ và tại $- \frac{π}{3}$ .

$8 (\sin (\frac{π}{3}) - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\tan (\frac{π}{3}) - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.2.2

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (- \frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - \sin (\frac{5 π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì sin âm trong góc phần tư thứ tư.

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \sin (\frac{π}{3})) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.3

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{3})$ là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} - - \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.4

Nhân $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.4.2

Nhân $\frac{\sqrt{3}}{2}$ với $1$ .

$8 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$8 \frac{\sqrt{3} + \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.6

Cộng $\sqrt{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$8 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.7

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.7.1

Đưa $2$ ra ngoài $8$ .

$2 (4) \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.7.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cdot 4 \frac{2 \sqrt{3}}{2} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.7.3

Viết lại biểu thức.

$4 (2 \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.8

Nhân $2$ với $4$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (- \frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.9

Cộng vòng quay hoàn chỉnh của $2 π$ cho đến khi góc lớn hơn hoặc bằng $0$ và nhỏ hơn $2 π$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - \tan (\frac{5 π}{3}))$

Bước 3.9.3.10

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì tang âm trong góc phần tư thứ tư.

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \tan (\frac{π}{3}))$

Bước 3.9.3.11

Giá trị chính xác của $\tan (\frac{π}{3})$ là $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} - - \sqrt{3})$

Bước 3.9.3.12

Nhân $- - \sqrt{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.12.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + 1 \sqrt{3})$

Bước 3.9.3.12.2

Nhân $\sqrt{3}$ với $1$ .

$8 \sqrt{3} - (\sqrt{3} + \sqrt{3})$

Bước 3.9.3.13

Cộng $\sqrt{3}$ và $\sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3})$

Bước 3.9.3.14

Nhân $2$ với $- 1$ .

$8 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Bước 3.9.3.15

Trừ $2 \sqrt{3}$ khỏi $8 \sqrt{3}$ .

$6 \sqrt{3}$

Bước 4

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$6 \sqrt{3}$

Dạng thập phân:

$10.39230484 \dots$

Bước 5