Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} π {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Bước 1

Vì $π$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $π$ ra khỏi tích phân.

$π \int_{0}^{1} {(1 - x^{2})}^{2} d x$

Bước 2

Khai triển ${(1 - x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Viết lại ${(1 - x^{2})}^{2}$ ở dạng $(1 - x^{2}) (1 - x^{2})$ .

$π \int_{0}^{1} (1 - x^{2}) (1 - x^{2}) d x$

Bước 2.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{1} 1 (1 - x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Bước 2.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} (1 - x^{2}) d x$

Bước 2.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 - x^{2} (- x^{2}) d x$

Bước 2.5

Di chuyển $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - x^{2} (- x^{2}) d x$

Bước 2.6

Di chuyển $x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 \cdot 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 2.7

Nhân $1$ với $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + 1 \cdot - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - 1 \cdot 1 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 2.9

Nhân $- 1$ với $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 2.10

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + 1 x^{2} x^{2} d x$

Bước 2.11

Nhân $x^{2}$ với $1$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2} x^{2} d x$

Bước 2.12

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{2 + 2} d x$

Bước 2.13

Cộng $2$ và $2$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - x^{2} - x^{2} + x^{4} d x$

Bước 2.14

Trừ $x^{2}$ khỏi $- x^{2}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 - 2 x^{2} + x^{4} d x$

Bước 2.15

Sắp xếp lại $- 2 x^{2}$ và $x^{4}$ .

$π \int_{0}^{1} 1 + x^{4} - 2 x^{2} d x$

Bước 2.16

Di chuyển $1$ .

$π \int_{0}^{1} x^{4} - 2 x^{2} + 1 d x$

Bước 3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$π (\int_{0}^{1} x^{4} d x + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$π (\frac{1}{5} x^{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{5}$ và $x^{5}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 2 x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Bước 6

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 2$ ra khỏi tích phân.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} d x)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Bước 8

Kết hợp $\frac{1}{3}$ và $x^{3}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} d x)$

Bước 9

Áp dụng quy tắc hằng số.

$π (\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + x]_{0}^{1})$

Bước 10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Kết hợp $\frac{x^{5}}{5}]_{0}^{1}$ và $x]_{0}^{1}$ .

$π (\frac{x^{5}}{5} + x]_{0}^{1} - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Bước 10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.1

Tính $\frac{x^{5}}{5} + x$ tại $1$ và tại $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}))$

Bước 10.2.2

Tính $\frac{x^{3}}{3}$ tại $1$ và tại $0$ .

$π ((\frac{1^{5}}{5} + 1) - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$π (\frac{1}{5} + 1 - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$π (\frac{1}{5} + \frac{5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π (\frac{1 + 5}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.4

Cộng $1$ và $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0^{5}}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.5

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $0$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 (0)}{5} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (\frac{6}{5} - (\frac{0}{1} + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.6.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$π (\frac{6}{5} - (0 + 0) - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.7

Cộng $0$ và $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.8

Nhân $- 1$ với $0$ .

$π (\frac{6}{5} + 0 - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.9

Cộng $\frac{6}{5}$ và $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.10

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Bước 10.2.3.11

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}))$

Bước 10.2.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Bước 10.2.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 10.2.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Bước 10.2.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}))$

Bước 10.2.3.12.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} - 0))$

Bước 10.2.3.13

Nhân $- 1$ với $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3} + 0))$

Bước 10.2.3.14

Cộng $\frac{1}{3}$ và $0$ .

$π (\frac{6}{5} - 2 (\frac{1}{3}))$

Bước 10.2.3.15

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} + \frac{- 2}{3})$

Bước 10.2.3.16

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$π (\frac{6}{5} - \frac{2}{3})$

Bước 10.2.3.17

Để viết $\frac{6}{5}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 10.2.3.18

Để viết $- \frac{2}{3}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 10.2.3.19

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $15$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.19.1

Nhân $\frac{6}{5}$ với $\frac{3}{3}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 10.2.3.19.2

Nhân $5$ với $3$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Bước 10.2.3.19.3

Nhân $\frac{2}{3}$ với $\frac{5}{5}$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Bước 10.2.3.19.4

Nhân $3$ với $5$ .

$π (\frac{6 \cdot 3}{15} - \frac{2 \cdot 5}{15})$

Bước 10.2.3.20

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$π \frac{6 \cdot 3 - 2 \cdot 5}{15}$

Bước 10.2.3.21

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.2.3.21.1

Nhân $6$ với $3$ .

$π \frac{18 - 2 \cdot 5}{15}$

Bước 10.2.3.21.2

Nhân $- 2$ với $5$ .

$π \frac{18 - 10}{15}$

Bước 10.2.3.21.3

Trừ $10$ khỏi $18$ .

$π \frac{8}{15}$

Bước 10.2.3.22

Kết hợp $π$ và $\frac{8}{15}$ .

$\frac{π \cdot 8}{15}$

Bước 10.2.3.23

Di chuyển $8$ sang phía bên trái của $π$ .

$\frac{8 π}{15}$

Bước 11

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8 π}{15}$

Dạng thập phân:

$1.67551608 \dots$

Bước 12