Giải tích Ví dụ

$x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$

Bước 1

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + \frac{1}{x} + x y + \frac{1}{y} + y^{2}$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.2

Vì $x^{2}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $x^{2}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 1.3

Vì $\frac{1}{x}$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $\frac{1}{x}$ đối với $y$ là $0$ .

$0 + 0 + \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d y} [x y]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $x$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $x y$ đối với $y$ là $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 + 0 + x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$0 + 0 + x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 2.3

Nhân $x$ với $1$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại $\frac{1}{y}$ ở dạng $y^{- 1}$ .

$0 + 0 + x + \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 0 + x - y^{- 2} + 2 y$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Bước 5.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $0$ và $0$ .

$0 + x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Bước 5.2.2

Cộng $0$ và $x$ .

$x - \frac{1}{y^{2}} + 2 y$

Bước 5.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$x + 2 y - \frac{1}{y^{2}}$