Giải tích Ví dụ

${(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{4}$ và $g (x) = e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Bước 1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Bước 1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $e^{3 x} + \sin (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} \frac{d}{d x} [e^{3 x} + \sin (2 x)]$

Bước 2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{3 x} + \sin (2 x)$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d x} [e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = 3 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 4

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 4.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.3.1

Nhân $3$ với $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (e^{3 x} \cdot 3 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 4.3.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 x}$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 \cdot e^{3 x} + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)])$

Bước 5

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{3}$ ở dạng $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 5.2

Đạo hàm của $\sin (u_{3})$ đối với $u_{3}$ là $\cos (u_{3})$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 5.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{3}$ với $2 x$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Bước 6

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Bước 6.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Bước 6.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + \cos (2 x) \cdot 2)$

Bước 6.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$4 {(e^{3 x} + \sin (2 x))}^{3} (3 e^{3 x} + 2 \cos (2 x))$