Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{4} (2 \sqrt{y} - y) d y$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} - y d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{4} 2 \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Bước 3

Vì $2$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int_{0}^{4} \sqrt{y} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Bước 4

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{y}$ ở dạng $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int_{0}^{4} y^{\frac{1}{2}} d y + \int_{0}^{4} - y d y$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y^{\frac{1}{2}}$ đối với $y$ là $\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Bước 6

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $y^{\frac{3}{2}}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} - y d y$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - \int_{0}^{4} y d y$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{1}{2} y^{2}]_{0}^{4})$

Bước 9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $y^{2}$ .

$2 (\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{4}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Bước 9.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.1

Tính $\frac{2 y^{\frac{3}{2}}}{3}$ tại $4$ và tại $0$ .

$2 ((\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3}) - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{y^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Bước 9.2.2

Tính $\frac{y^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0$ .

$2 (\frac{2 \cdot 4^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$2 (\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.3.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{2 \cdot 2^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $3$ .

$2 (\frac{2 \cdot 8}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.5

Nhân $2$ với $8$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.6

Viết lại $0$ ở dạng $0^{2}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.7

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.8

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.8.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.8.2

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.9

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.10

Nhân $2$ với $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $0$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 (\frac{16}{3} - \frac{0}{1}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$2 (\frac{16}{3} - 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 (\frac{16}{3} + 0) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.13

Cộng $\frac{16}{3}$ và $0$ .

$2 (\frac{16}{3}) - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.14

Kết hợp $2$ và $\frac{16}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.15

Nhân $2$ với $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.16

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.17

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.17.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.17.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.17.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.17.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{32}{3} - (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.17.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{32}{3} - (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.17.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 9.2.3.18

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{2})$

Bước 9.2.3.19

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.19.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 9.2.3.19.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.19.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 9.2.3.19.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 9.2.3.19.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{32}{3} - (8 - \frac{0}{1})$

Bước 9.2.3.19.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$\frac{32}{3} - (8 - 0)$

Bước 9.2.3.20

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{32}{3} - (8 + 0)$

Bước 9.2.3.21

Cộng $8$ và $0$ .

$\frac{32}{3} - 1 \cdot 8$

Bước 9.2.3.22

Nhân $- 1$ với $8$ .

$\frac{32}{3} - 8$

Bước 9.2.3.23

Để viết $- 8$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} - 8 \cdot \frac{3}{3}$

Bước 9.2.3.24

Kết hợp $- 8$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3}$

Bước 9.2.3.25

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{32 - 8 \cdot 3}{3}$

Bước 9.2.3.26

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.2.3.26.1

Nhân $- 8$ với $3$ .

$\frac{32 - 24}{3}$

Bước 9.2.3.26.2

Trừ $24$ khỏi $32$ .

$\frac{8}{3}$

Bước 10

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{8}{3}$

Dạng thập phân:

$2.\overline{6}$

Dạng hỗn số:

$2 \frac{2}{3}$

Bước 11