Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{24} x^{6} + \frac{1}{15} x^{- 4} - \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{- 1}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{24} x^{6} + \frac{1}{15} x^{- 4} - \frac{1}{5} x^{5} + 2 x^{- 1}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{24} x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{24}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{24} x^{6}$ đối với $x$ là $\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$\frac{1}{24} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $6$ và $\frac{1}{24}$ .

$\frac{6}{24} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{6}{24}$ và $x^{5}$ .

$\frac{6 x^{5}}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{5}$ .

$\frac{6 (x^{5})}{24} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $24$ .

$\frac{6 x^{5}}{6 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 x^{5}}{6 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{15} x^{- 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $\frac{1}{15}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{15} x^{- 4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{15} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{1}{15} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.3.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{15}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4}{15} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.3.4

Kết hợp $\frac{- 4}{15}$ và $x^{- 5}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4 x^{- 5}}{15} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.3.5

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} + \frac{- 4}{15 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.3.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{5} x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- \frac{1}{5}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{5} x^{5}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - \frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.3

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - 5 (\frac{1}{5}) x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.4

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{5}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- 5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.5

Kết hợp $\frac{- 5}{5}$ và $x^{4}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- 5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 5$ và $5$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.1

Đưa $5$ ra ngoài $- 5 x^{4}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.6.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $5$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} + \frac{- x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.4.6.2.4

Chia $- x^{4}$ cho $1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{- 1}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + 2 (- x^{- 2})$

Bước 1.5.3

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - 2 x^{- 2}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Bước 1.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.2.1

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Bước 1.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{x^{5}}{4} - \frac{4}{15 x^{5}} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}}$

Bước 1.6.3

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = \frac{x^{5}}{4} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{15 x^{5}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{x^{5}}{4} - x^{4} - \frac{2}{x^{2}} - \frac{4}{15 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{x^{5}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{x^{5}}{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{1}{4} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.2.3

Kết hợp $5$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} x^{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.2.4

Kết hợp $\frac{5}{4}$ và $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{4}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.3.3

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{2}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- 2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{x^{2}}$ đối với $x$ là $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{2}}$ ở dạng ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.5.2

Nhân $2$ với $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.6

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.7

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.8

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.9

Trừ $4$ khỏi $1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} - 2 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.4.10

Nhân $- 2$ với $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$

Bước 2.5

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{15 x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.1

Vì $- \frac{4}{15}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{4}{15 x^{5}}$ đối với $x$ là $- \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Bước 2.5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Bước 2.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{5}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{5}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Bước 2.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Bước 2.5.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Bước 2.5.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Bước 2.5.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Bước 2.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{4 - 10})$

Bước 2.5.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} - \frac{4}{15} (- 5 x^{- 6})$

Bước 2.5.8

Nhân $- 5$ với $- 1$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + 5 (\frac{4}{15}) x^{- 6}$

Bước 2.5.9

Kết hợp $5$ và $\frac{4}{15}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 \cdot 4}{15} x^{- 6}$

Bước 2.5.10

Nhân $5$ với $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20}{15} x^{- 6}$

Bước 2.5.11

Kết hợp $\frac{20}{15}$ và $x^{- 6}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20 x^{- 6}}{15}$

Bước 2.5.12

Di chuyển $x^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{20}{15 x^{6}}$

Bước 2.5.13

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $15$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.1

Đưa $5$ ra ngoài $20$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 (4)}{15 x^{6}}$

Bước 2.5.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.5.13.2.1

Đưa $5$ ra ngoài $15 x^{6}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 (4)}{5 (3 x^{6})}$

Bước 2.5.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{5 \cdot 4}{5 (3 x^{6})}$

Bước 2.5.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 x^{- 3} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Bước 2.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + 4 \frac{1}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Bước 2.6.2

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{5 x^{4}}{4} - 4 x^{3} + \frac{4}{x^{3}} + \frac{4}{3 x^{6}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $\frac{5}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{5 x^{4}}{4}$ đối với $x$ là $\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$\frac{5}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.3

Kết hợp $4$ và $\frac{5}{4}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.4

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{20}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.5

Kết hợp $\frac{20}{4}$ và $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.6

Triệt tiêu thừa số chung của $20$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $20 x^{3}$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (5 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{5 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.2.6.2.4

Chia $5 x^{3}$ cho $1$ .

$5 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{3}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.3.3

Nhân $3$ với $- 4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{3}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{x^{3}}$ đối với $x$ là $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{3}}$ ở dạng ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{3}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $x^{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.5.2

Nhân $3$ với $- 2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.6

Nhân $3$ với $- 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.7

Nhân $x^{- 6}$ với $x^{2}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.7.1

Di chuyển $x^{2}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.7.3

Trừ $6$ khỏi $2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + 4 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.4.8

Nhân $- 3$ với $4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$

Bước 3.5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{6}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Vì $\frac{4}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{4}{3 x^{6}}$ đối với $x$ là $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Bước 3.5.2

Viết lại $\frac{1}{x^{6}}$ ở dạng ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Bước 3.5.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $x^{6}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.5.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ là $n {u_{2}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.5.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $x^{6}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.5.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Bước 3.5.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Bước 3.5.5.2

Nhân $6$ với $- 2$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Bước 3.5.6

Nhân $6$ với $- 1$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Bước 3.5.7

Nhân $x^{- 12}$ với $x^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.7.1

Di chuyển $x^{5}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Bước 3.5.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{5 - 12})$

Bước 3.5.7.3

Trừ $12$ khỏi $5$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{4}{3} (- 6 x^{- 7})$

Bước 3.5.8

Kết hợp $- 6$ và $\frac{4}{3}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 6 \cdot 4}{3} x^{- 7}$

Bước 3.5.9

Nhân $- 6$ với $4$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24}{3} x^{- 7}$

Bước 3.5.10

Kết hợp $\frac{- 24}{3}$ và $x^{- 7}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24 x^{- 7}}{3}$

Bước 3.5.11

Di chuyển $x^{- 7}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 24}{3 x^{7}}$

Bước 3.5.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.12.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 24$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 x^{7}}$

Bước 3.5.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.12.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3 x^{7}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 (x^{7})}$

Bước 3.5.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{3 \cdot - 8}{3 x^{7}}$

Bước 3.5.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} + \frac{- 8}{x^{7}}$

Bước 3.5.13

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x^{- 4} - \frac{8}{x^{7}}$

Bước 3.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - 12 \frac{1}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Bước 3.6.2

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.6.2.1

Kết hợp $- 12$ và $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{- 12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Bước 3.6.2.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$f''' (x) = 5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$

Bước 4

Đạo hàm bậc ba của $f (x)$ đối với $x$ là $5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$ .

$5 x^{3} - 12 x^{2} - \frac{12}{x^{4}} - \frac{8}{x^{7}}$