Giải tích Ví dụ

$\int 2 x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Bước 1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$2 \int x^{3} \sin (3 x^{4}) d x$

Bước 2

Giả sử $u_{1} = x^{2}$ . Sau đó $d u_{1} = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Viết lại bằng $u_{1}$ và $d$ $u_{1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u_{1} = x^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{1}$ và $d u_{1}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {\sqrt{u_{1}}}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Viết lại ${\sqrt{u_{1}}}^{4}$ ở dạng ${u_{1}}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u_{1}}$ ở dạng ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot 4}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.3

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{4}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1.4.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{\frac{2}{1}}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.1.4.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$2 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) \frac{1}{2} d u_{1}$

Bước 3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $u_{1}$ .

$2 \int \frac{u_{1}}{2} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 3.3

Kết hợp $\frac{u_{1}}{2}$ và $\sin (3 {u_{1}}^{2})$ .

$2 \int \frac{u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2})}{2} d u_{1}$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u_{1}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$2 (\frac{1}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2$ .

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 5.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 5.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 \int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 5.3

Nhân $\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$ với $1$ .

$\int u_{1} \sin (3 {u_{1}}^{2}) d u_{1}$

Bước 6

Giả sử $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Sau đó $d u_{2} = 6 u_{1} d u_{1}$ , nên $\frac{1}{6} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Viết lại bằng $u_{2}$ và $d$ $u_{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Hãy đặt $u_{2} = 3 {u_{1}}^{2}$ . Tìm $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1.1

Tính đạo hàm $3 {u_{1}}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [3 {u_{1}}^{2}]$

Bước 6.1.2

Vì $3$ không đổi đối với $u_{1}$ , nên đạo hàm của $3 {u_{1}}^{2}$ đối với $u_{1}$ là $3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$

Bước 6.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 u_{1})$

Bước 6.1.4

Nhân $2$ với $3$ .

$6 u_{1}$

Bước 6.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u_{2}$ và $d u_{2}$ .

$\int \sin (u_{2}) \frac{1}{6} d u_{2}$

Bước 7

Kết hợp $\sin (u_{2})$ và $\frac{1}{6}$ .

$\int \frac{\sin (u_{2})}{6} d u_{2}$

Bước 8

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u_{2}$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Bước 9

Tích phân của $\sin (u_{2})$ đối với $u_{2}$ là $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2}) + C)$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Rút gọn.

$\frac{1}{6} (- \cos (u_{2})) + C$

Bước 10.2

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $\cos (u_{2})$ .

$- \frac{\cos (u_{2})}{6} + C$

Bước 11

Thay trở lại cho mỗi biến thay thế tích phân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $3 {u_{1}}^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {u_{1}}^{2})}{6} + C$

Bước 11.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (3 {(x^{2})}^{2})}{6} + C$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\cos (3 x^{2 \cdot 2})}{6} + C$

Bước 12.1.2

Nhân $2$ với $2$ .

$- \frac{\cos (3 x^{4})}{6} + C$

Bước 12.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$- \frac{1}{6} \cos (3 x^{4}) + C$