Giải tích Ví dụ

$\int_{100}^{\infty} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Bước 1

Viết tích phân ở dạng một giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{100}^{t} \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 1 + x^{2}$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 1 + x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $1 + x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 + x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.3

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 + 2 x$

Bước 2.1.5

Cộng $0$ và $2 x$ .

$2 x$

Bước 2.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 + 100^{2}$

Bước 2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Nâng $100$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{lower} = 1 + 10000$

Bước 2.3.2

Cộng $1$ và $10000$ .

$u_{lower} = 10001$

Bước 2.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 + x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Bước 2.5

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 10001$

$u_{upper} = 1 + t^{2}$

Bước 2.6

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Bước 5

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 5.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 5.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 5.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 5.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{10001}^{1 + t^{2}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 u^{\frac{1}{2}}]_{10001}^{1 + t^{2}}}{2}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $1 + t^{2}$ và tại $10001$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 8.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}}{2}$

Bước 8.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $- 2 \cdot 10001^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 8.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- 10001^{\frac{1}{2}})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2}$

Bước 8.2.4

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.4.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 (1)}$

Bước 8.2.4.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 ({(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1}$

Bước 8.2.4.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{t \to \infty} \frac{{(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}}{1}$

Bước 8.2.4.4

Chia ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$ cho $1$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - 10001^{\frac{1}{2}}$

Bước 9

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} {(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Bước 9.2

Viết lại ${(1 + t^{2})}^{\frac{1}{2}}$ ở dạng $\sqrt{1 + t^{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{1 + t^{2}} - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Bước 9.3

Khi $t$ tiến dần đến $\infty$ đối với các căn thức, thì giá trị sẽ trở thành $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 10001^{\frac{1}{2}}$

Bước 9.4

Tính giới hạn của $10001^{\frac{1}{2}}$ mà không đổi khi $t$ tiến dần đến $\infty$ .

$\infty - 10001^{\frac{1}{2}}$

Bước 9.5

Vô cùng cộng hoặc trừ một số là vô cùng.

$\infty$