Giải tích Ví dụ

$y = \frac{1}{\sin (20 x)}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{\sin (20 x)})$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Quy đổi từ $\frac{1}{\sin (20 x)}$ sang $\csc (20 x)$ .

$\frac{d}{d y} [\csc (20 x)]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ là $f' (g (y)) g' (y)$ trong đó $f (y) = \csc (y)$ và $g (y) = 20 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $20 x$ .

$\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d y} [20 x]$

Bước 3.2.2

Đạo hàm của $\csc (u)$ đối với $u$ là $- \csc (u) \cot (u)$ .

$- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d y} [20 x]$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $20 x$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [20 x]$

Bước 3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $20$ không đổi đối với $y$ , nên đạo hàm của $20 x$ đối với $y$ là $20 \frac{d}{d y} [x]$ .

$- \csc (20 x) \cot (20 x) (20 \frac{d}{d y} [x])$

Bước 3.3.2

Nhân $20$ với $- 1$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) \frac{d}{d y} [x]$

Bước 3.4

Viết lại $\frac{d}{d y} [x]$ ở dạng $x'$ .

$- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$

Bước 3.5

Sắp xếp lại các thừa số của $- 20 \csc (20 x) \cot (20 x) x'$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$1 = - 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'$

Bước 5

Giải tìm $x'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ .

$- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$

Bước 5.2

Chia mỗi số hạng trong $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ cho $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Chia mỗi số hạng trong $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x' = 1$ cho $- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)$ .

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Bước 5.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $- 20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x) x'}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Bước 5.2.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Bước 5.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $\cot (20 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\cot (20 x) \csc (20 x) x'}{\cot (20 x) \csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Bước 5.2.2.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Bước 5.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $\csc (20 x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\csc (20 x) x'}{\csc (20 x)} = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Bước 5.2.2.3.2

Chia $x'$ cho $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \cot (20 x) \csc (20 x)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Tách các phân số.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\cot (20 x)}$

Bước 5.2.3.2

Viết lại $\cot (20 x)$ theo sin và cosin.

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}}$

Bước 5.2.3.3

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{\cos (20 x)}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \cdot \frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$

Bước 5.2.3.4

Quy đổi từ $\frac{\sin (20 x)}{\cos (20 x)}$ sang $\tan (20 x)$ .

$x' = \frac{1}{- 20 \csc (20 x)} \tan (20 x)$

Bước 5.2.3.5

Tách các phân số.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\csc (20 x)} \tan (20 x)$

Bước 5.2.3.6

Viết lại $\csc (20 x)$ theo sin và cosin.

$x' = \frac{1}{- 20} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (20 x)}} \tan (20 x)$

Bước 5.2.3.7

Nhân với nghịch đảo của phân số để chia cho $\frac{1}{\sin (20 x)}$ .

$x' = \frac{1}{- 20} (1 \sin (20 x)) \tan (20 x)$

Bước 5.2.3.8

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.8.1

Nhân $\sin (20 x)$ với $1$ .

$x' = \frac{1}{- 20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Bước 5.2.3.8.2

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$x' = - \frac{1}{20} \sin (20 x) \tan (20 x)$

Bước 5.2.3.9

Kết hợp $\sin (20 x)$ và $\frac{1}{20}$ .

$x' = - \frac{\sin (20 x)}{20} \tan (20 x)$

Bước 5.2.3.10

Kết hợp $\tan (20 x)$ và $\frac{\sin (20 x)}{20}$ .

$x' = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$

Bước 6

Thay thế $x'$ bằng $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{\tan (20 x) \sin (20 x)}{20}$