Giải tích Ví dụ

$2 e^{3 t} - e^{2 t}$

Bước 1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 e^{3 t} - e^{2 t}$ đối với $t$ là $\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

$\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2

Tính $\frac{d}{d t} [2 e^{3 t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 e^{3 t}$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

$2 \frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 3 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $3 t$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ là $a^{u_{1}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $3 t$ .

$2 (e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t]) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.3

Vì $3$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $3 t$ đối với $t$ là $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 (e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t])) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$2 (e^{3 t} (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.5

Nhân $3$ với $1$ .

$2 (e^{3 t} \cdot 3) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.6

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $e^{3 t}$ .

$2 (3 \cdot e^{3 t}) + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 2.7

Nhân $3$ với $2$ .

$6 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$

Bước 3

Tính $\frac{d}{d t} [- e^{2 t}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $- e^{2 t}$ đối với $t$ là $- \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$ .

$6 e^{3 t} - \frac{d}{d t} [e^{2 t}]$

Bước 3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ là $f' (g (t)) g' (t)$ trong đó $f (t) = e^{t}$ và $g (t) = 2 t$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $2 t$ .

$6 e^{3 t} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [2 t])$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$6 e^{3 t} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [2 t])$

Bước 3.2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $2 t$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \frac{d}{d t} [2 t])$

Bước 3.3

Vì $2$ không đổi đối với $t$ , nên đạo hàm của $2 t$ đối với $t$ là $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \frac{d}{d t} [t]))$

Bước 3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ là $n t^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} (2 \cdot 1))$

Bước 3.5

Nhân $2$ với $1$ .

$6 e^{3 t} - (e^{2 t} \cdot 2)$

Bước 3.6

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $e^{2 t}$ .

$6 e^{3 t} - (2 \cdot e^{2 t})$

Bước 3.7

Nhân $2$ với $- 1$ .

$6 e^{3 t} - 2 e^{2 t}$