Giải tích Ví dụ

$\int_{2}^{4} (\frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} - 3 x + 2 d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{2}^{4} \frac{1}{2} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \int_{2}^{4} x^{3} d x + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} + \int_{2}^{4} - 3 x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Bước 5

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 3$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 \int_{2}^{4} x d x + \int_{2}^{4} 2 d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{1}{2} x^{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Bước 7

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 2 d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} \frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4} - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Bước 9

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tính $\frac{1}{4} x^{4}$ tại $4$ và tại $2$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{1}{4} \cdot 4^{4}) - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{x^{2}}{2}]_{2}^{4}) + 2 x]_{2}^{4}$

Bước 9.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + 2 x]_{2}^{4}$

Bước 9.3

Tính $2 x$ tại $4$ và tại $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 4^{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot 256 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.2

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $256$ .

$\frac{1}{2} (\frac{256}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.3

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.1

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (\frac{64}{1} - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.3.2.4

Chia $64$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 2^{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.4

Nâng $2$ lên lũy thừa $4$ .

$\frac{1}{2} (64 - \frac{1}{4} \cdot 16) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.5

Nhân $16$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 16 (\frac{1}{4})) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.6

Kết hợp $- 16$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 16}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 16$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 (1)}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{4 \cdot - 4}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} (64 + \frac{- 4}{1}) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.7.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$\frac{1}{2} (64 - 4) - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.8

Trừ $4$ khỏi $64$ .

$\frac{1}{2} \cdot 60 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.9

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $60$ .

$\frac{60}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.10

Triệt tiêu thừa số chung của $60$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.10.1

Đưa $2$ ra ngoài $60$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.10.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.10.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{2 \cdot 30}{2 (1)} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.10.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 30}{2 \cdot 1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.10.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{30}{1} - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.10.2.4

Chia $30$ cho $1$ .

$30 - 3 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.11

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$30 - 3 (\frac{16}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.12

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 - 3 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$30 - 3 (\frac{8}{1} - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.12.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2^{2}}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.13

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$30 - 3 (8 - \frac{4}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.14

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.14.1

Đưa $2$ ra ngoài $4$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.14.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.4.14.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.14.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$30 - 3 (8 - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.14.2.3

Viết lại biểu thức.

$30 - 3 (8 - \frac{2}{1}) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.14.2.4

Chia $2$ cho $1$ .

$30 - 3 (8 - 1 \cdot 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.15

Nhân $- 1$ với $2$ .

$30 - 3 (8 - 2) + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.16

Trừ $2$ khỏi $8$ .

$30 - 3 \cdot 6 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.17

Nhân $- 3$ với $6$ .

$30 - 18 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.18

Trừ $18$ khỏi $30$ .

$12 + (2 \cdot 4) - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.19

Nhân $2$ với $4$ .

$12 + 8 - 2 \cdot 2$

Bước 9.4.20

Nhân $- 2$ với $2$ .

$12 + 8 - 4$

Bước 9.4.21

Trừ $4$ khỏi $8$ .

$12 + 4$

Bước 9.4.22

Cộng $12$ và $4$ .

$16$

Bước 10