Giải tích Ví dụ

$\int \frac{6 x \sqrt{2 x^{2} - 7}}{5} d x$

Bước 1

Vì $\frac{6}{5}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{6}{5}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{6}{5} \int x \sqrt{2 x^{2} - 7} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 2 x^{2} - 7$ . Sau đó $d u = 4 x d x$ , nên $\frac{1}{4} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 2 x^{2} - 7$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $2 x^{2} - 7$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 7]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $2 x^{2} - 7$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{2}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.3.3

Nhân $2$ với $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 7]$

Bước 2.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.4.1

Vì $- 7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- 7$ đối với $x$ là $0$ .

$4 x + 0$

Bước 2.1.4.2

Cộng $4 x$ và $0$ .

$4 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{6}{5} \int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Bước 3

Kết hợp $\sqrt{u}$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{6}{5} \int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{4}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u)$

Bước 5

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Nhân $\frac{1}{4}$ với $\frac{6}{5}$ .

$\frac{6}{4 \cdot 5} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.2

Nhân $4$ với $5$ .

$\frac{6}{20} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $20$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{2 (3)}{20} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $20$ .

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 10} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.1.3.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{3}{10} \int \sqrt{u} d u$

Bước 5.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{10} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{10} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{3}{10} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ ở dạng $\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{3}{10}$ với $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{6}{10 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.3

Nhân $10$ với $3$ .

$\frac{6}{30} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.4

Triệt tiêu thừa số chung của $6$ và $30$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 (1)}{30} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.4.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $30$ .

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 5} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 7.2.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{5} u^{\frac{3}{2}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x^{2} - 7$ .

$\frac{1}{5} {(2 x^{2} - 7)}^{\frac{3}{2}} + C$