Giải tích Ví dụ

$f (x) = x \cdot e^{x}$ , $[0, 1]$

Bước 1

Tập xác định của biểu thức là tất cả các số thực trừ trường hợp biểu thức không xác định. Trong trường hợp này, không có số thực nào làm cho biểu thức không xác định.

Ký hiệu khoảng:

$(- \infty, \infty)$

Ký hiệu xây dựng tập hợp:

${x | x \in ℝ}$

Bước 2

$f (x)$ liên tục trên $[0, 1]$ .

$f (x)$ là liên tục

Bước 3

Giá trị trung bình của hàm số $f$ trong khoảng $[a, b]$ được định nghĩa là $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Bước 4

Thay các giá trị thực tế vào công thức cho giá trị trung bình của một hàm số.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (\int_{0}^{1} x \cdot e^{x} d x)$

Bước 5

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^{x} d x)$

Bước 6

Tích phân của $e^{x}$ đối với $x$ là $e^{x}$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (x e^{x}]_{0}^{1} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 7

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Tính $x e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - (e^{x}]_{0}^{1}))$

Bước 7.2

Tính $e^{x}$ tại $1$ và tại $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} ((1 e) + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Bước 7.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Rút gọn.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1 e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Bước 7.3.2

Nhân $e$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 e^{0} - ((e) - e^{0}))$

Bước 7.3.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 \cdot 1 - ((e) - e^{0}))$

Bước 7.3.4

Nhân $0$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e + 0 - ((e) - e^{0}))$

Bước 7.3.5

Cộng $e$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - ((e) - e^{0}))$

Bước 7.3.6

Rút gọn.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - e^{0}))$

Bước 7.3.7

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1 \cdot 1))$

Bước 7.3.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - (e - 1))$

Bước 8

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Bước 8.1.2

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (e - e + 1)$

Bước 8.2

Trừ $e$ khỏi $e$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (0 + 1)$

Bước 8.3

Cộng $0$ và $1$ .

$A (x) = \frac{1}{1 - 0} (1)$

Bước 9

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1 + 0} \cdot 1$

Bước 9.2

Cộng $1$ và $0$ .

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Bước 10

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Triệt tiêu thừa số chung $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$A (x) = \frac{1}{1} \cdot 1$

Bước 10.1.2

Viết lại biểu thức.

$A (x) = 1 \cdot 1$

Bước 10.2

Nhân $1$ với $1$ .

$A (x) = 1$

Bước 11