Giải tích Ví dụ

$x^{2} - 12 x + 84 = - y^{2} + 16 y$

Bước 1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa biến sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Cộng $y^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 12 x + 84 + y^{2} = 16 y$

Bước 1.2

Trừ $16 y$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} - 12 x + 84 + y^{2} - 16 y = 0$

Bước 1.3

Di chuyển $84$ .

$x^{2} - 12 x + y^{2} - 16 y + 84 = 0$

Bước 1.4

Di chuyển $- 12 x$ .

$x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y + 84 = 0$

Bước 2

Trừ $84$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$

Bước 3

Hoàn thành bình phương cho $x^{2} - 12 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 12$

$c = 0$

Bước 3.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 3.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 12}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 12$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)}$

Bước 3.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1}$

Bước 3.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 6}{1}$

Bước 3.3.2.2.4

Chia $- 6$ cho $1$ .

$d = - 6$

Bước 3.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 12)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.2.1.1

Nâng $- 12$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{144}{4 \cdot 1}$

Bước 3.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{144}{4}$

Bước 3.4.2.1.3

Chia $144$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Bước 3.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $36$ .

$e = 0 - 36$

Bước 3.4.2.2

Trừ $36$ khỏi $0$ .

$e = - 36$

Bước 3.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(x - 6)}^{2} - 36$ .

${(x - 6)}^{2} - 36$

Bước 4

Thay ${(x - 6)}^{2} - 36$ cho $x^{2} - 12 x$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$ .

${(x - 6)}^{2} - 36 + y^{2} - 16 y = - 84$

Bước 5

Di chuyển $- 36$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $36$ vào cả hai vế.

${(x - 6)}^{2} + y^{2} - 16 y = - 84 + 36$

Bước 6

Hoàn thành bình phương cho $y^{2} - 16 y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sử dụng dạng $a x^{2} + b x + c$ , để tìm các giá trị của $a$ , $b$ , và $c$ .

$a = 1$

$b = - 16$

$c = 0$

Bước 6.2

Xét dạng đỉnh của một parabol.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Bước 6.3

Tìm $d$ bằng cách sử dụng công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 1}$

Bước 6.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Bước 6.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.2.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (1)}$

Bước 6.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 1}$

Bước 6.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$d = \frac{- 8}{1}$

Bước 6.3.2.2.4

Chia $- 8$ cho $1$ .

$d = - 8$

Bước 6.4

Tìm $e$ bằng cách sử dụng công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.1

Thay các giá trị của $c$ , $b$ và $a$ vào công thức $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Bước 6.4.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.4.2.1.1

Nâng $- 16$ lên lũy thừa $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 1}$

Bước 6.4.2.1.2

Nhân $4$ với $1$ .

$e = 0 - \frac{256}{4}$

Bước 6.4.2.1.3

Chia $256$ cho $4$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Bước 6.4.2.1.4

Nhân $- 1$ với $64$ .

$e = 0 - 64$

Bước 6.4.2.2

Trừ $64$ khỏi $0$ .

$e = - 64$

Bước 6.5

Thay các giá trị của $a$ , $d$ và $e$ vào dạng đỉnh ${(y - 8)}^{2} - 64$ .

${(y - 8)}^{2} - 64$

Bước 7

Thay ${(y - 8)}^{2} - 64$ cho $y^{2} - 16 y$ trong phương trình $x^{2} + y^{2} - 12 x - 16 y = - 84$ .

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} - 64 = - 84 + 36$

Bước 8

Di chuyển $- 64$ sang vế phải của phương trình bằng cách cộng $64$ vào cả hai vế.

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 84 + 36 + 64$

Bước 9

Rút gọn $- 84 + 36 + 64$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Cộng $- 84$ và $36$ .

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = - 48 + 64$

Bước 9.2

Cộng $- 48$ và $64$ .

${(x - 6)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 16$

Bước 10

Đây là dạng của một đường tròn. Sử dụng dạng này để xác định tâm và bán kính của đường tròn.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Bước 11

Tương ứng các giá trị trong đường tròn này với dạng chính tắc. Biến $r$ là bán kính của đường tròn, $h$ là khoảng cách theo trục x tính từ gốc tọa độ, và $k$ là khoảng cách theo trục y tính từ gốc tọa độ.

$r = 4$

$h = 6$

$k = 8$

Bước 12

Tìm được tâm của đường tròn tại $(h, k)$ .

Tâm: $(6, 8)$

Bước 13

Những giá trị này đại diện cho các giá trị quan trọng cho việc vẽ đồ thị và phân tích một đường tròn.

Tâm: $(6, 8)$

Bán kính: $4$

Bước 14