Giải tích Ví dụ

$\frac{1}{1 - e^{- x}}$

Bước 1

Viết lại $\frac{1}{1 - e^{- x}}$ ở dạng ${(1 - e^{- x})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(1 - e^{- x})}^{- 1}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = 1 - e^{- x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{1}$ ở dạng $1 - e^{- x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ là $n {u_{1}}^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{1}$ với $1 - e^{- x}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 - e^{- x}]$

Bước 3

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - e^{- x}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Bước 3.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{- x}])$

Bước 3.3

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$

Bước 3.4

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- e^{- x}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

Bước 3.5

Nhân.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.5.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$1 {(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 3.5.2

Nhân ${(1 - e^{- x})}^{- 2}$ với $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Bước 4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = e^{x}$ và $g (x) = - x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u_{2}$ ở dạng $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ là $a^{u_{2}} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 4.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u_{2}$ với $- x$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])$

Bước 5

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Bước 5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Bước 5.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x} \cdot - 1$

Bước 5.3.2

Di chuyển $- 1$ sang phía bên trái của ${(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- 1 \cdot ({(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x})$

Bước 5.3.3

Viết lại $- 1 {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ ở dạng $- {(1 - e^{- x})}^{- 2}$ .

$- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Sắp xếp lại các thừa số của $- {(1 - e^{- x})}^{- 2} e^{- x}$ .

$- e^{- x} {(1 - e^{- x})}^{- 2}$

Bước 6.2

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- e^{- x} \frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$

Bước 6.3

Kết hợp $\frac{1}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$ và $e^{- x}$ .

$- \frac{e^{- x}}{{(1 - e^{- x})}^{2}}$