Giải tích Ví dụ

$f (x) = \frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{- 3} - \frac{2}{3} - \frac{2}{3} x^{6} + \frac{1}{2} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{- 3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $\frac{1}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{4} x^{- 3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 3$ .

$\frac{1}{4} (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.2.3

Kết hợp $- 3$ và $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4} x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $\frac{- 3}{4}$ và $x^{- 4}$ .

$\frac{- 3 x^{- 4}}{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.2.5

Di chuyển $x^{- 4}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.2.6

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.3

Vì $- \frac{2}{3}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{2}{3}$ đối với $x$ là $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{6}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- \frac{2}{3}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{2}{3} x^{6}$ đối với $x$ là $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - \frac{2}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.3

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 6 (\frac{2}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.4

Kết hợp $- 6$ và $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 6 \cdot 2}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.5

Nhân $- 6$ với $2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.6

Kết hợp $\frac{- 12}{3}$ và $x^{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 12 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.7

Triệt tiêu thừa số chung của $- 12$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.1

Đưa $3$ ra ngoài $- 12 x^{5}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.7.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{3 (- 4 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 + \frac{- 4 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.4.7.2.4

Chia $- 4 x^{5}$ cho $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$

Bước 1.5

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{2} x^{4}$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Bước 1.5.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{1}{2} (4 x^{3})$

Bước 1.5.3

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4}{2} x^{3}$

Bước 1.5.4

Kết hợp $\frac{4}{2}$ và $x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{4 x^{3}}{2}$

Bước 1.5.5

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{3}$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2}$

Bước 1.5.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)}$

Bước 1.5.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Bước 1.5.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + \frac{2 x^{3}}{1}$

Bước 1.5.5.2.4

Chia $2 x^{3}$ cho $1$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} + 0 - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $- \frac{3}{4 x^{4}}$ và $0$ .

$- \frac{3}{4 x^{4}} - 4 x^{5} + 2 x^{3}$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 4 x^{5} + 2 x^{3} - \frac{3}{4 x^{4}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 4 x^{5}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 4$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 4 x^{5}$ đối với $x$ là $- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- 4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.2.3

Nhân $5$ với $- 4$ .

$- 20 x^{4} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x^{3}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 x^{4} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 20 x^{4} + 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.3.3

Nhân $3$ với $2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$

Bước 2.4

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{4 x^{4}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- \frac{3}{4}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{4 x^{4}}$ đối với $x$ là $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Bước 2.4.2

Viết lại $\frac{1}{x^{4}}$ ở dạng ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Bước 2.4.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{4}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.4.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.4.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Bước 2.4.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 4$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Bước 2.4.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Bước 2.4.5.2

Nhân $4$ với $- 2$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Bước 2.4.6

Nhân $4$ với $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Bước 2.4.7

Nhân $x^{- 8}$ với $x^{3}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.7.1

Di chuyển $x^{3}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Bước 2.4.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{3 - 8})$

Bước 2.4.7.3

Trừ $8$ khỏi $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} - \frac{3}{4} (- 4 x^{- 5})$

Bước 2.4.8

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (\frac{3}{4}) x^{- 5}$

Bước 2.4.9

Kết hợp $4$ và $\frac{3}{4}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4} x^{- 5}$

Bước 2.4.10

Nhân $4$ với $3$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4} x^{- 5}$

Bước 2.4.11

Kết hợp $\frac{12}{4}$ và $x^{- 5}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12 x^{- 5}}{4}$

Bước 2.4.12

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{12}{4 x^{5}}$

Bước 2.4.13

Triệt tiêu thừa số chung của $12$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.1

Đưa $4$ ra ngoài $12$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Bước 2.4.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.13.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4 x^{5}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 (x^{5})}$

Bước 2.4.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{4 \cdot 3}{4 x^{5}}$

Bước 2.4.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$f'' (x) = - 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$

Bước 3

Đạo hàm bậc hai của $f (x)$ đối với $x$ là $- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$ .

$- 20 x^{4} + 6 x^{2} + \frac{3}{x^{5}}$