Giải tích Ví dụ

$y = x^{3} - 15 x$ , $y = x$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$x^{3} - 15 x = x$

Bước 1.2

Giải $x^{3} - 15 x = x$ để tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Di chuyển tất cả các số hạng chứa $x$ sang vế trái của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1.1

Trừ $x$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x^{3} - 15 x - x = 0$

Bước 1.2.1.2

Trừ $x$ khỏi $- 15 x$ .

$x^{3} - 16 x = 0$

Bước 1.2.2

Phân tích vế trái của phương trình thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3} - 16 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.1.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} - 16 x = 0$

Bước 1.2.2.1.2

Đưa $x$ ra ngoài $- 16 x$ .

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 16 = 0$

Bước 1.2.2.1.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x^{2} + x \cdot - 16$ .

$x (x^{2} - 16) = 0$

Bước 1.2.2.2

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$x (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Bước 1.2.2.3

Phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.2.3.1

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = x$ và $b = 4$ .

$x ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Bước 1.2.2.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn không cần thiết.

$x (x + 4) (x - 4) = 0$

Bước 1.2.3

Nếu bất kỳ thừa số riêng lẻ nào ở vế trái của phương trình bằng $0$ , toàn bộ biểu thức sẽ bằng $0$ .

$x = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0 + y = x$

Bước 1.2.4

Đặt $x$ bằng với $0$ .

$x = 0$

Bước 1.2.5

Đặt $x + 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.5.1

Đặt $x + 4$ bằng với $0$ .

$x + 4 = 0$

Bước 1.2.5.2

Trừ $4$ khỏi cả hai vế của phương trình.

$x = - 4$

Bước 1.2.6

Đặt $x - 4$ bằng $0$ và giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.6.1

Đặt $x - 4$ bằng với $0$ .

$x - 4 = 0$

Bước 1.2.6.2

Cộng $4$ cho cả hai vế của phương trình.

$x = 4$

Bước 1.2.7

Đáp án cuối cùng là tất cả các giá trị làm cho $x (x + 4) (x - 4) = 0$ đúng.

$x = 0, - 4, 4$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = 0$

Bước 1.3.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 0$

Bước 1.4

Tính $y$ khi $x = - 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Thay $- 4$ bằng $x$ .

$y = - 4$

Bước 1.4.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = - 4$

Bước 1.5

Tính $y$ khi $x = 4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Thay $4$ bằng $x$ .

$y = 4$

Bước 1.5.2

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 4$

Bước 1.6

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

$(0, 0)$

$(- 4, - 4)$

$(4, 4)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x d x - \int_{- 4}^{0} x d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $- 4$ và $0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 15 x - (x) d x$

Bước 3.2

Trừ $x$ khỏi $- 15 x$ .

$\int_{- 4}^{0} x^{3} - 16 x d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 4}^{0} x^{3} d x + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Bước 3.4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} + \int_{- 4}^{0} - 16 x d x$

Bước 3.5

Vì $- 16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 16$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 \int_{- 4}^{0} x d x$

Bước 3.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 4}^{0})$

Bước 3.7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{- 4}^{0} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Bước 3.7.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.1

Tính $\frac{1}{4} x^{4}$ tại $0$ và tại $- 4$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 0^{4}) - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 4}^{0})$

Bước 3.7.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $0$ và tại $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0^{4} - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.2

Nhân $\frac{1}{4}$ với $0$ .

$0 - \frac{1}{4} {(- 4)}^{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.3

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $4$ .

$0 - \frac{1}{4} \cdot 256 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.4

Nhân $256$ với $- 1$ .

$0 - 256 (\frac{1}{4}) - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.5

Kết hợp $- 256$ và $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{- 256}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 256$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $- 256$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.6.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 (1)} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$0 + \frac{4 \cdot - 64}{4 \cdot 1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$0 + \frac{- 64}{1} - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.6.2.4

Chia $- 64$ cho $1$ .

$0 - 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.7

Trừ $64$ khỏi $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0^{2}}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.8

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{0}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 (0)}{2} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 64 - 16 (\frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 64 - 16 (\frac{0}{1} - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.9.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{2})$

Bước 3.7.2.3.10

Nâng $- 4$ lên lũy thừa $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{16}{2})$

Bước 3.7.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2})$

Bước 3.7.2.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.7.2.3.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 (1)})$

Bước 3.7.2.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 64 - 16 (0 - \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1})$

Bước 3.7.2.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 64 - 16 (0 - \frac{8}{1})$

Bước 3.7.2.3.11.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$- 64 - 16 (0 - 1 \cdot 8)$

Bước 3.7.2.3.12

Nhân $- 1$ với $8$ .

$- 64 - 16 (0 - 8)$

Bước 3.7.2.3.13

Trừ $8$ khỏi $0$ .

$- 64 - 16 \cdot - 8$

Bước 3.7.2.3.14

Nhân $- 16$ với $- 8$ .

$- 64 + 128$

Bước 3.7.2.3.15

Cộng $- 64$ và $128$ .

$64$

Bước 4

$A r e a = \int_{0}^{4} x d x - \int_{0}^{4} x^{3} - 15 x d x$

Bước 5

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{0}^{4} x - (x^{3} - 15 x) d x$

Bước 5.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$x - x^{3} - (- 15 x)$

Bước 5.2.2

Nhân $- 15$ với $- 1$ .

$x - x^{3} + 15 x$

$\int_{0}^{4} x - x^{3} + 15 x d x$

Bước 5.3

Cộng $x$ và $15 x$ .

$\int_{0}^{4} - x^{3} + 16 x d x$

Bước 5.4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{0}^{4} - x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Bước 5.5

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- \int_{0}^{4} x^{3} d x + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Bước 5.6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Bước 5.7

Kết hợp $\frac{1}{4}$ và $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + \int_{0}^{4} 16 x d x$

Bước 5.8

Vì $16$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $16$ ra khỏi tích phân.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 \int_{0}^{4} x d x$

Bước 5.9

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{4})$

Bước 5.10

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Bước 5.10.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.1

Tính $\frac{x^{4}}{4}$ tại $4$ và tại $0$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4})$

Bước 5.10.2.2

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $4$ và tại $0$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.1

Nâng $4$ lên lũy thừa $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.2

Triệt tiêu thừa số chung của $256$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.2.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (\frac{64}{1} - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.2.2.4

Chia $64$ cho $1$ .

$- (64 - \frac{0^{4}}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.3

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- (64 - \frac{0}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.4

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $4$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.4.1

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$- (64 - \frac{4 (0)}{4}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.4.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.4.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.4.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- (64 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.4.2.3

Viết lại biểu thức.

$- (64 - \frac{0}{1}) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.4.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- (64 - 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.5

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- (64 + 0) + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.6

Cộng $64$ và $0$ .

$- 1 \cdot 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.7

Nhân $- 1$ với $64$ .

$- 64 + 16 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.8

Nâng $4$ lên lũy thừa $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{16}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $16$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.9.1

Đưa $2$ ra ngoài $16$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.9.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 64 + 16 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 64 + 16 (\frac{8}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.9.2.4

Chia $8$ cho $1$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0^{2}}{2})$

Bước 5.10.2.3.10

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{2})$

Bước 5.10.2.3.11

Triệt tiêu thừa số chung của $0$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.11.1

Đưa $2$ ra ngoài $0$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 (0)}{2})$

Bước 5.10.2.3.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.10.2.3.11.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 5.10.2.3.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 64 + 16 (8 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Bước 5.10.2.3.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 64 + 16 (8 - \frac{0}{1})$

Bước 5.10.2.3.11.2.4

Chia $0$ cho $1$ .

$- 64 + 16 (8 - 0)$

Bước 5.10.2.3.12

Nhân $- 1$ với $0$ .

$- 64 + 16 (8 + 0)$

Bước 5.10.2.3.13

Cộng $8$ và $0$ .

$- 64 + 16 \cdot 8$

Bước 5.10.2.3.14

Nhân $16$ với $8$ .

$- 64 + 128$

Bước 5.10.2.3.15

Cộng $- 64$ và $128$ .

$64$

Bước 6

Cộng $64$ và $64$ .

$128$

Bước 7