Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\ln (7)} \frac{e^{x}}{e^{x} + 2} d x$

Bước 1

Giả sử $u = e^{x} + 2$ . Sau đó $d u = e^{x} d x$ , nên $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = e^{x} + 2$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $e^{x} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 2]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $e^{x} + 2$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc mũ, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ là $a^{x} \ln (a)$ trong đó $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Bước 1.1.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $2$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $2$ đối với $x$ là $0$ .

$e^{x} + 0$

Bước 1.1.4.2

Cộng $e^{x}$ và $0$ .

$e^{x}$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = e^{x} + 2$ .

$u_{lower} = e^{0} + 2$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Bước 1.3.2

Cộng $1$ và $2$ .

$u_{lower} = 3$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = e^{x} + 2$ .

$u_{upper} = e^{\ln (7)} + 2$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Lũy thừa và logarit là các hàm nghịch đảo.

$u_{upper} = 7 + 2$

Bước 1.5.2

Cộng $7$ và $2$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 9$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{3}^{9} \frac{1}{u} d u$

Bước 2

Tích phân của $\frac{1}{u}$ đối với $u$ là $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{3}^{9}$

Bước 3

Tính $\ln (| u |)$ tại $9$ và tại $3$ .

$\ln (| 9 |) - \ln (| 3 |)$

Bước 4

Sử dụng tính chất thương của logarit, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 9 |}{| 3 |})$

Bước 5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $9$ là $9$ .

$\ln (\frac{9}{| 3 |})$

Bước 5.2

Giá trị tuyệt đối là khoảng cách giữa một số và số 0. Khoảng cách giữa $0$ và $3$ là $3$ .

$\ln (\frac{9}{3})$

Bước 5.3

Chia $9$ cho $3$ .

$\ln (3)$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\ln (3)$

Dạng thập phân:

$1.09861228 \dots$

Bước 7