Giải tích Ví dụ

$\int \frac{9 x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \frac{x}{{(x^{2} + 1)}^{4}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x^{2} + 1$ . Sau đó $d u = 2 x d x$ , nên $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x^{2} + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x^{2} + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 2.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$2 x + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $2 x$ và $0$ .

$2 x$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u^{4}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Nhân $\frac{1}{u^{4}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$9 \int \frac{1}{u^{4} \cdot 2} d u$

Bước 3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $u^{4}$ .

$9 \int \frac{1}{2 u^{4}} d u$

Bước 4

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$9 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u)$

Bước 5

Kết hợp các phân số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $9$ .

$\frac{9}{2} \int \frac{1}{u^{4}} d u$

Bước 5.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Di chuyển $u^{4}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{9}{2} \int {(u^{4})}^{- 1} d u$

Bước 5.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{4})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} \int u^{4 \cdot - 1} d u$

Bước 5.2.2.2

Nhân $4$ với $- 1$ .

$\frac{9}{2} \int u^{- 4} d u$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 4}$ đối với $u$ là $- \frac{1}{3} u^{- 3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$

Bước 7

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Viết lại $\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} u^{- 3} + C)$ ở dạng $\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{u^{3}}) + C$

Bước 7.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $\frac{1}{u^{3}}$ với $\frac{1}{3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{u^{3} \cdot 3}) + C$

Bước 7.2.2

Di chuyển $3$ sang phía bên trái của $u^{3}$ .

$\frac{9}{2} (- \frac{1}{3 \cdot u^{3}}) + C$

Bước 7.2.3

Nhân $\frac{9}{2}$ với $\frac{1}{3 u^{3}}$ .

$- \frac{9}{2 (3 u^{3})} + C$

Bước 7.2.4

Nhân $3$ với $2$ .

$- \frac{9}{6 u^{3}} + C$

Bước 7.2.5

Triệt tiêu thừa số chung của $9$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.1

Đưa $3$ ra ngoài $9$ .

$- \frac{3 (3)}{6 u^{3}} + C$

Bước 7.2.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.5.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $6 u^{3}$ .

$- \frac{3 (3)}{3 (2 u^{3})} + C$

Bước 7.2.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- \frac{3 \cdot 3}{3 (2 u^{3})} + C$

Bước 7.2.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- \frac{3}{2 u^{3}} + C$

Bước 8

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{2} + 1$ .

$- \frac{3}{2 {(x^{2} + 1)}^{3}} + C$