Giải tích Ví dụ

$\int_{- 8}^{0} (\frac{y}{8} + \sqrt{y + 9}) d y$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} + \sqrt{y + 9} d y$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 8}^{0} \frac{y}{8} d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Bước 3

Vì $\frac{1}{8}$ không đổi đối với $y$ , hãy di chuyển $\frac{1}{8}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{8} \int_{- 8}^{0} y d y + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $y$ đối với $y$ là $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{- 8}^{0} \sqrt{y + 9} d y$

Bước 5

Giả sử $u = y + 9$ . Sau đó $d u = d y$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = y + 9$ . Tìm $\frac{d u}{d y}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Bước 5.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $y + 9$ đối với $y$ là $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Bước 5.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ là $n y^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Bước 5.1.4

Vì $9$ là hằng số đối với $y$ , đạo hàm của $9$ đối với $y$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 5.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $y$ trong $u = y + 9$ .

$u_{lower} = - 8 + 9$

Bước 5.3

Cộng $- 8$ và $9$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $y$ trong $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 0 + 9$

Bước 5.5

Cộng $0$ và $9$ .

$u_{upper} = 9$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 9$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} \sqrt{u} d u$

Bước 6

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \int_{1}^{9} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{8} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 8}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Bước 8

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Tính $\frac{1}{2} y^{2}$ tại $0$ và tại $- 8$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{9}$

Bước 8.2

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $9$ và tại $1$ .

$\frac{1}{8} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$\frac{1}{8} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.2

Nhân $\frac{1}{2}$ với $0$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} {(- 8)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.3

Nâng $- 8$ lên lũy thừa $2$ .

$\frac{1}{8} (0 - \frac{1}{2} \cdot 64) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.4

Nhân $64$ với $- 1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 64 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.5

Kết hợp $- 64$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 64}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6

Triệt tiêu thừa số chung của $- 64$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 64$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.6.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 (1)}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{8} (0 + \frac{- 32}{1}) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.6.2.4

Chia $- 32$ cho $1$ .

$\frac{1}{8} (0 - 32) + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.7

Trừ $32$ khỏi $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot - 32 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.8

Kết hợp $\frac{1}{8}$ và $- 32$ .

$\frac{- 32}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9

Triệt tiêu thừa số chung của $- 32$ và $8$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.1

Đưa $8$ ra ngoài $- 32$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.9.2.1

Đưa $8$ ra ngoài $8$ .

$\frac{8 \cdot - 4}{8 (1)} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{8 \cdot - 4}{8 \cdot 1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 4}{1} + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.9.2.4

Chia $- 4$ cho $1$ .

$- 4 + (\frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.10

Viết lại $9$ ở dạng $3^{2}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.11

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.12

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.12.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.12.2

Viết lại biểu thức.

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 3^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.13

Nâng $3$ lên lũy thừa $3$ .

$- 4 + \frac{2}{3} \cdot 27 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.14

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $27$ .

$- 4 + \frac{2 \cdot 27}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.15

Nhân $2$ với $27$ .

$- 4 + \frac{54}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.16

Triệt tiêu thừa số chung của $54$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.16.1

Đưa $3$ ra ngoài $54$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.16.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.16.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 (1)} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.16.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 4 + \frac{3 \cdot 18}{3 \cdot 1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.16.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 4 + \frac{18}{1} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.16.2.4

Chia $18$ cho $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Bước 8.3.17

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 4 + 18 - \frac{2}{3} \cdot 1$

Bước 8.3.18

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 4 + 18 - \frac{2}{3}$

Bước 8.3.19

Để viết $18$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + 18 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 8.3.20

Kết hợp $18$ và $\frac{3}{3}$ .

$- 4 + \frac{18 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}$

Bước 8.3.21

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 4 + \frac{18 \cdot 3 - 2}{3}$

Bước 8.3.22

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.22.1

Nhân $18$ với $3$ .

$- 4 + \frac{54 - 2}{3}$

Bước 8.3.22.2

Trừ $2$ khỏi $54$ .

$- 4 + \frac{52}{3}$

Bước 8.3.23

Để viết $- 4$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$- 4 \cdot \frac{3}{3} + \frac{52}{3}$

Bước 8.3.24

Kết hợp $- 4$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{3} + \frac{52}{3}$

Bước 8.3.25

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{- 4 \cdot 3 + 52}{3}$

Bước 8.3.26

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.3.26.1

Nhân $- 4$ với $3$ .

$\frac{- 12 + 52}{3}$

Bước 8.3.26.2

Cộng $- 12$ và $52$ .

$\frac{40}{3}$

Bước 9

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{40}{3}$

Dạng thập phân:

$13.\overline{3}$

Dạng hỗn số:

$13 \frac{1}{3}$

Bước 10