Giải tích Ví dụ

$\int \frac{9 x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 1

Vì $9$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $9$ ra khỏi tích phân.

$9 \int \frac{x^{2}}{{(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}} d x$

Bước 2

Giả sử $u = 7 - 3 x^{3}$ . Sau đó $d u = - 9 x^{2} d x$ , nên $- \frac{1}{9} d u = x^{2} d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = 7 - 3 x^{3}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $7 - 3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [7 - 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $7 - 3 x^{3}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.2.2

Vì $7$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $7$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$

Bước 2.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.3.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{3}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Bước 2.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$0 - 3 (3 x^{2})$

Bước 2.1.3.3

Nhân $3$ với $- 3$ .

$0 - 9 x^{2}$

Bước 2.1.4

Trừ $9 x^{2}$ khỏi $0$ .

$- 9 x^{2}$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- 9} d u$

Bước 3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$9 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{9}) d u$

Bước 3.2

Nhân $\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}}$ với $\frac{1}{9}$ .

$9 \int - \frac{1}{u^{\frac{1}{2}} \cdot 9} d u$

Bước 3.3

Di chuyển $9$ sang phía bên trái của $u^{\frac{1}{2}}$ .

$9 \int - \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 4

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$9 (- \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Bước 5

Nhân $- 1$ với $9$ .

$- 9 \int \frac{1}{9 u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 6

Vì $\frac{1}{9}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{9}$ ra khỏi tích phân.

$- 9 (\frac{1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u)$

Bước 7

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Kết hợp $\frac{1}{9}$ và $- 9$ .

$\frac{- 9}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.1.2

Triệt tiêu thừa số chung của $- 9$ và $9$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $- 9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.2.2.1

Đưa $9$ ra ngoài $9$ .

$\frac{9 \cdot - 1}{9 (1)} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{9 \cdot - 1}{9 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.1.2.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$- \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 7.2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$- \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 7.2.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 7.2.2.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$- \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 7.2.2.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 8

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Viết lại $- (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ ở dạng $- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$- 1 \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 9.2

Nhân $- 1$ với $2$ .

$- 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Bước 10

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $7 - 3 x^{3}$ .

$- 2 {(7 - 3 x^{3})}^{\frac{1}{2}} + C$