Giải tích Ví dụ

$f (x) = \sin^{2} (x)$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = \sin (x)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Bước 1.2

Đạo hàm của $\sin (x)$ đối với $x$ là $\cos (x)$ .

$2 \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Sắp xếp lại các thừa số của $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x)$

Bước 1.3.2

Sắp xếp lại $2 \cos (x)$ và $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x))$

Bước 1.3.3

Sắp xếp lại $\sin (x)$ và $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Bước 1.3.4

Áp dụng đẳng thức góc nhân đôi cho sin.

$\sin (2 x)$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai của hàm số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = \sin (x)$ và $g (x) = 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.1.2

Đạo hàm của $\sin (u)$ đối với $u$ là $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $2 x$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Bước 2.2.3

Rút gọn biểu thức.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.3.1

Nhân $2$ với $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2$

Bước 2.2.3.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

Bước 3

Để tìm các giá trị cực đại địa phương và cực tiểu địa phương của hàm số, đặt đạo hàm bằng $0$ và giải.

$\sin (2 x) = 0$

Bước 4

Lấy nghịch đảo sin của cả hai vế của phương trình để trích xuất $x$ từ trong hàm sin.

$2 x = \arcsin (0)$

Bước 5

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Giá trị chính xác của $\arcsin (0)$ là $0$ .

$2 x = 0$

Bước 6

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = 0$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 6.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Bước 6.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Bước 6.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.3.1

Chia $0$ cho $2$ .

$x = 0$

Bước 7

Hàm sin dương trong góc phần tư thứ nhất và thứ hai. Để tìm đáp án thứ hai, trừ góc tham chiếu khỏi $π$ để tìm đáp án trong góc phần tư thứ hai.

$2 x = π - 0$

Bước 8

Giải tìm $x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.1.1

Nhân $- 1$ với $0$ .

$2 x = π + 0$

Bước 8.1.2

Cộng $π$ và $0$ .

$2 x = π$

Bước 8.2

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.1

Chia mỗi số hạng trong $2 x = π$ cho $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 8.2.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 8.2.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Bước 8.2.2.1.2

Chia $x$ cho $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Bước 9

Đáp án của phương trình $2 x = 0$ .

$x = 0, \frac{π}{2}$

Bước 10

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = 0$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (0))$

Bước 11

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Nhân $2$ với $0$ .

$2 \cos (0)$

Bước 11.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 \cdot 1$

Bước 11.3

Nhân $2$ với $1$ .

$2$

Bước 12

$x = 0$ là một cực tiểu địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai dương. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = 0$ là cực tiểu địa phương

Bước 13

Tìm giá trị y khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Thay thế biến $x$ bằng $0$ trong biểu thức.

$f (0) = \sin^{2} (0)$

Bước 13.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (0)$ là $0$ .

$f (0) = 0^{2}$

Bước 13.2.2

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$f (0) = 0$

Bước 13.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $0$ .

$y = 0$

Bước 14

Tính đạo hàm bậc hai tại $x = \frac{π}{2}$ . Nếu đạo hàm bậc hai dương, thì đây là một cực tiểu địa phương. Nếu nó âm, thì đây là một cực đại địa phương.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2}))$

Bước 15

Tính đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$2 \cos (2 \frac{π}{2})$

Bước 15.1.2

Viết lại biểu thức.

$2 \cos (π)$

Bước 15.2

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$2 (- \cos (0))$

Bước 15.3

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1)$

Bước 15.4

Nhân $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.4.1

Nhân $- 1$ với $1$ .

$2 \cdot - 1$

Bước 15.4.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 2$

Bước 16

$x = \frac{π}{2}$ là một cực đại địa phương vì giá trị của đạo hàm bậc hai âm. Đây được gọi là phép kiểm định đạo hàm bậc hai.

$x = \frac{π}{2}$ là cực đại địa phương

Bước 17

Tìm giá trị y khi $x = \frac{π}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.1

Thay thế biến $x$ bằng $\frac{π}{2}$ trong biểu thức.

$f (\frac{π}{2}) = \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Bước 17.2

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 17.2.1

Giá trị chính xác của $\sin (\frac{π}{2})$ là $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 1^{2}$

Bước 17.2.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$f (\frac{π}{2}) = 1$

Bước 17.2.3

Câu trả lời cuối cùng là $1$ .

$y = 1$

Bước 18

Đây là những cực trị địa phương cho $f (x) = \sin^{2} (x)$ .

$(0, 0)$ là một cực tiểu địa phương

$(\frac{π}{2}, 1)$ là một cực đại địa phuơng

Bước 19