Giải tích Ví dụ

$\sqrt{\frac{4 x^{2}}{6 + 2 x}}$

Bước 1

Rút gọn biểu thức bằng cách triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $6 + 2 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x}}]$

Bước 1.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x}}]$

Bước 1.1.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)}}]$

Bước 1.1.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)}}]$

Bước 1.1.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)}}]$

Bước 1.1.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{2 x^{2}}{3 + x}}]$

Bước 1.2

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{\frac{2 x^{2}}{3 + x}}$ ở dạng ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2}}]$

Bước 2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ và $g (x) = \frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 2.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Đưa $2$ ra ngoài $4 x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{6 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 2.3.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $6$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 2.3.2.2

Đưa $2$ ra ngoài $2 x$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot 3 + 2 (x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 2.3.2.3

Đưa $2$ ra ngoài $2 \cdot 3 + 2 (x)$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 2.3.2.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 (2 x^{2})}{2 \cdot (3 + x)})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 2.3.2.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 3

Để viết $- 1$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 4

Kết hợp $- 1$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Nhân $- 1$ với $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 6.2

Trừ $2$ khỏi $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 7

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc nhân với hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{2 x^{2}}{3 + x}]$

Bước 7.2

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{2 x^{2}}{3 + x}$ đối với $x$ là $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} (2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}])$

Bước 7.3

Rút gọn các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.1

Kết hợp $2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Bước 7.3.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{2}{2} {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Bước 7.3.2.2

Viết lại biểu thức.

$1 {(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Bước 7.3.3

Nhân ${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}}$ với $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{3 + x}]$

Bước 8

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc thương số, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ là $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ trong đó $f (x) = x^{2}$ và $g (x) = 3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 9

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{(3 + x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 9.2

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $3 + x$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [3 + x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 9.3

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 + x$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 9.4

Vì $3$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $3$ đối với $x$ là $0$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 9.5

Cộng $0$ và $\frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 9.6

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2} \cdot 1}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 9.7

Nhân $- 1$ với $1$ .

${(\frac{2 x^{2}}{3 + x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.1

Thay đổi dấu của số mũ bằng cách viết lại cơ số ở dạng nghịch đảo của nó.

${(\frac{3 + x}{2 x^{2}})}^{\frac{1}{2}} \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.2

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3 + x}{2 x^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.3

Áp dụng quy tắc tích số cho $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (3 + x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.4

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(2 \cdot 3 + 2 x) x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.5

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} {(x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6

Kết hợp các số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.1.2

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.1.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{2 (\frac{1}{2})}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.1.2.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x^{1}} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.2

Rút gọn.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{2 \cdot 3 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.3

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x \cdot x - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.4

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.5

Nâng $x$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 (x^{1} x^{1}) - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{1 + 1} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.7

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + 2 x^{2} - x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.8

Trừ $x^{2}$ khỏi $2 x^{2}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x} \cdot \frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.9

Nhân $\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} x}$ với $\frac{6 x + x^{2}}{{(3 + x)}^{2}}$ .

$\frac{{(3 + x)}^{\frac{1}{2}} (6 x + x^{2})}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2}}$

Bước 10.6.10

Di chuyển ${(3 + x)}^{\frac{1}{2}}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{2} {(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}}$

Bước 10.6.11

Nhân ${(3 + x)}^{2}$ với ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.11.1

Di chuyển ${(3 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x ({(3 + x)}^{- \frac{1}{2}} {(3 + x)}^{2})}$

Bước 10.6.11.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2}}$

Bước 10.6.11.3

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}$

Bước 10.6.11.4

Kết hợp $2$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}$

Bước 10.6.11.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}}$

Bước 10.6.11.6

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.6.11.6.1

Nhân $2$ với $2$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{- 1 + 4}{2}}}$

Bước 10.6.11.6.2

Cộng $- 1$ và $4$ .

$\frac{6 x + x^{2}}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10.7

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{x^{2} + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10.8

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2} + 6 x$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 10.8.1

Đưa $x$ ra ngoài $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 6 x}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10.8.2

Đưa $x$ ra ngoài $6 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 6}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10.8.3

Đưa $x$ ra ngoài $x \cdot x + x \cdot 6$ .

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10.9

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{x (x + 6)}{2^{\frac{1}{2}} x {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$

Bước 10.10

Viết lại biểu thức.

$\frac{x + 6}{2^{\frac{1}{2}} {(3 + x)}^{\frac{3}{2}}}$