Giải tích Ví dụ

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Bước 1

Viết $\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ ở dạng một hàm số.

$f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Bước 2

Có thể tìm hàm số $F (x)$ bằng cách tìm tích phân bất định của đạo hàm $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Bước 3

Lập tích phân để giải.

$F (x) = \int \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 4

Chia $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1$ cho $x^{2} + 2 x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Lập các đa thức được chia. Nếu không có đủ số hạng cho mọi số mũ, hãy chèn một số hạng có giá trị $0$ .

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Bước 4.2

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{3}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

Bước 4.3

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Bước 4.4

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{3} + 2 x^{2} + x$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

Bước 4.5

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

Bước 4.6

Đưa các số hạng tiếp theo từ biểu thức bị chia ban đầu xuống dưới biểu thức bị chia hiện tại.

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Bước 4.7

Chia số hạng bậc cao nhất trong biểu thức bị chia $x^{2}$ cho số hạng bậc cao nhất trong biểu thức chia $x^{2}$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Bước 4.8

Nhân số hạng thương số mới với số chia.

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Bước 4.9

Biểu thức cần được trừ khỏi số bị chia, vì vậy hãy đổi tất cả các dấu trong $x^{2} + 2 x + 1$

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$3 x$

$1$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Bước 4.10

Sau khi đổi các dấu, cộng số bị chia cuối cùng của đa thức từ phép nhân để tìm số bị chia mới.

						$x$	+	$1$
$x^{2}$	+	$2 x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$x$
							+	$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
											-	$2$

Bước 4.11

Đáp án cuối cùng là thương cộng với phần còn lại trên số chia.

$\int x + 1 - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 5

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 6

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 7

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C + \int - \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - \int \frac{2}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 9

Vì $2$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $2$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - (2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x)$

Bước 10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{x^{2} + 2 x + 1} d x$

Bước 11

Viết phân số bằng cách khai triển phân số từng phần.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Chia nhỏ phân số và nhân với mẫu số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc số chính phương.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.1.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + 2 x + 1^{2}}$

Bước 11.1.1.2

Kiểm tra xem số hạng ở giữa có gấp đôi tích của các số trước khi được bình phương ở số hạng thứ nhất và số hạng thứ ba không.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Bước 11.1.1.3

Viết lại đa thức này.

$\frac{1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}$

Bước 11.1.1.4

Phân tích thành thừa số bằng quy tắc tam thức chính phương $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , trong đó $a = x$ và $b = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 11.1.2

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $A$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}}$

Bước 11.1.3

Với mỗi thừa số dưới mẫu số, ta tạo một phân số mới dùng thừa số đó làm mẫu số và một ẩn số làm tử số. Vì thừa số dưới mẫu số tuyến tính nên ta đặt một biến đơn vào vị trí của nó $B$ .

$\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$

Bước 11.1.4

Nhân mỗi phân số trong phương trình với mẫu của của biểu thức ban đầu. Trong trường hợp này, mẫu số là ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 11.1.5

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.5.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1 {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 11.1.5.2

Viết lại biểu thức.

$1 = \frac{(A) {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 11.1.6

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.6.1

Triệt tiêu thừa số chung ${(x + 1)}^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.6.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = \frac{A {(x + 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 11.1.6.1.2

Chia $A$ cho $1$ .

$1 = A + \frac{(B) {(x + 1)}^{2}}{x + 1}$

Bước 11.1.6.2

Triệt tiêu thừa số chung của ${(x + 1)}^{2}$ và $x + 1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.6.2.1

Đưa $x + 1$ ra ngoài $(B) {(x + 1)}^{2}$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{x + 1}$

Bước 11.1.6.2.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1.6.2.2.1

Nhân với $1$ .

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Bước 11.1.6.2.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$1 = A + \frac{(x + 1) (B (x + 1))}{(x + 1) \cdot 1}$

Bước 11.1.6.2.2.3

Viết lại biểu thức.

$1 = A + \frac{B (x + 1)}{1}$

Bước 11.1.6.2.2.4

Chia $B (x + 1)$ cho $1$ .

$1 = A + B (x + 1)$

Bước 11.1.6.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$1 = A + B x + B \cdot 1$

Bước 11.1.6.4

Nhân $B$ với $1$ .

$1 = A + B x + B$

Bước 11.1.7

Sắp xếp lại $A$ và $B x$ .

$1 = B x + A + B$

Bước 11.2

Tạo các phương trình cho các biến của phân số từng phần và sử dụng chúng để lập một hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.2.1

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của $x$ từ mỗi vế của phương trình bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$0 = B$

Bước 11.2.2

Tạo một phương trình cho các biến phân số từng phần bằng cách đặt các hệ số của các số hạng không chứa $x$ bằng nhau. Để phương trình cân bằng, các hệ số tương ứng ở mỗi vế của phương trình phải bằng nhau.

$1 = A + B$

Bước 11.2.3

Lập hệ phương trình để tìm hệ số của các phân số từng phần.

$0 = B$

$1 = A + B$

$0 = B$

$1 = A + B$

Bước 11.3

Giải hệ phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Viết lại phương trình ở dạng $B = 0$ .

$B = 0$

$1 = A + B$

Bước 11.3.2

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ bằng $0$ trong mỗi phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.1

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $B$ trong $1 = A + B$ bằng $0$ .

$1 = A + 0$

$B = 0$

Bước 11.3.2.2

Rút gọn $1 = A + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.1.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$1 = A + 0$

$B = 0$

$1 = A + 0$

$B = 0$

Bước 11.3.2.2.2

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.2.2.2.1

Cộng $A$ và $0$ .

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

$1 = A$

$B = 0$

Bước 11.3.3

Viết lại phương trình ở dạng $A = 1$ .

$A = 1$

$B = 0$

Bước 11.3.4

Giải hệ phương trình.

$A = 1 B = 0$

Bước 11.3.5

Liệt kê tất cả các đáp án.

$A = 1, B = 0$

Bước 11.4

Thay thế từng hệ số phân số từng phần trong $\frac{A}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{B}{x + 1}$ bằng các giá trị tìm được cho $A$ và $B$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + \frac{0}{x + 1}$

Bước 11.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.5.1

Chia $0$ cho $x + 1$ .

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}} + 0$

Bước 11.5.2

Loại bỏ số 0 từ biểu thức.

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{{(x + 1)}^{2}} d x$

Bước 12

Giả sử $u = x + 1$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Hãy đặt $u = x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Tính đạo hàm $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Bước 12.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 12.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 12.1.4

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 12.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 12.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Bước 13

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.1

Di chuyển $u^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Bước 13.2

Nhân các số mũ trong ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 13.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Bước 13.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 \int u^{- 2} d u$

Bước 14

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- 2}$ đối với $u$ là $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + x + C - 2 (- u^{- 1} + C)$

Bước 15

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 15.1

Rút gọn.

$\frac{1}{2} x^{2} + x - 2 (- u^{- 1}) + C$

Bước 15.2

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 u^{- 1} + C$

Bước 16

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 1$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$

Bước 17

Câu trả lời là nguyên hàm của hàm số $f (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{2} + 2 x + 1}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x^{2} + x + 2 {(x + 1)}^{- 1} + C$