Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} x \cdot 5^{x} d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = x$ và $d v = 5^{x}$ .

$x (\frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x})]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Bước 2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Kết hợp $\frac{1}{\ln (5)}$ và $5^{x}$ .

$x \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Bước 2.2

Kết hợp $x$ và $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 5^{x} d x$

Bước 3

Vì $\frac{1}{\ln (5)}$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $\frac{1}{\ln (5)}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - (\frac{1}{\ln (5)} \int_{0}^{1} 5^{x} d x)$

Bước 4

Tích phân của $5^{x}$ đối với $x$ là $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{1}{\ln (5)} \frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$

Bước 5

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Kết hợp $\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}$ và $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Bước 5.2

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Tính $\frac{x \cdot 5^{x}}{\ln (5)}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{\frac{5^{x}}{\ln (5)}]_{0}^{1}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.2

Tính $\frac{5^{x}}{\ln (5)}$ tại $1$ và tại $0$ .

$(\frac{1 \cdot 5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Tính số mũ.

$\frac{1 \cdot 5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.2

Nhân $5$ với $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 5^{0}}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.3

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0 \cdot 1}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.4

Nhân $0$ với $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.5

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5 + 0}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.6

Cộng $5$ và $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{(\frac{5^{1}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.7

Tính số mũ.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{5^{0}}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{5 - 1}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.10

Trừ $1$ khỏi $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$

Bước 5.2.3.11

Viết lại $\frac{\frac{4}{\ln (5)}}{\ln (5)}$ ở dạng một tích.

$\frac{5}{\ln (5)} - (\frac{4}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)})$

Bước 5.2.3.12

Nhân $\frac{4}{\ln (5)}$ với $\frac{1}{\ln (5)}$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln (5) \ln (5)}$

Bước 5.2.3.13

Nâng $\ln (5)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln (5)}$

Bước 5.2.3.14

Nâng $\ln (5)$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)}$

Bước 5.2.3.15

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{{\ln (5)}^{1 + 1}}$

Bước 5.2.3.16

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Bước 6

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{5}{\ln (5)} - \frac{4}{\ln^{2} (5)}$

Dạng thập phân:

$1.56244626 \dots$

Bước 7