Giải tích Ví dụ

$\int 3 x {(x + 6)}^{2} d x$

Bước 1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $3$ ra khỏi tích phân.

$3 \int x {(x + 6)}^{2} d x$

Bước 2

Giả sử $u = x + 6$ . Sau đó $d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Hãy đặt $u = x + 6$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Tính đạo hàm $x + 6$ .

$\frac{d}{d x} [x + 6]$

Bước 2.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $x + 6$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 2.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [6]$

Bước 2.1.4

Vì $6$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $6$ đối với $x$ là $0$ .

$1 + 0$

Bước 2.1.5

Cộng $1$ và $0$ .

$1$

Bước 2.2

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ và $d u$ .

$3 \int (u - 6) u^{2} d u$

Bước 3

Khai triển $(u - 6) u^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$3 \int u \cdot u^{2} - 6 u^{2} d u$

Bước 3.2

Nâng $u$ lên lũy thừa $1$ .

$3 \int u^{1} u^{2} - 6 u^{2} d u$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$3 \int u^{1 + 2} - 6 u^{2} d u$

Bước 3.4

Cộng $1$ và $2$ .

$3 \int u^{3} - 6 u^{2} d u$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$3 (\int u^{3} d u + \int - 6 u^{2} d u)$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{3}$ đối với $u$ là $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C + \int - 6 u^{2} d u)$

Bước 6

Vì $- 6$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 6$ ra khỏi tích phân.

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 \int u^{2} d u)$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{2}$ đối với $u$ là $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$3 (\frac{1}{4} u^{4} + C - 6 (\frac{1}{3} u^{3} + C))$

Bước 8

Rút gọn.

$3 (\frac{u^{4}}{4} - 2 u^{3}) + C$

Bước 9

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x + 6$ .

$3 (\frac{{(x + 6)}^{4}}{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$

Bước 10

Sắp xếp lại các số hạng.

$3 (\frac{1}{4} {(x + 6)}^{4} - 2 {(x + 6)}^{3}) + C$