Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \arccos (x) d x$

Bước 1

Lấy tích phân từng phần bằng công thức $\int u d v = u v - \int v d u$ , trong đó $u = \arccos (x)$ và $d v = 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) d x$

Bước 2

Kết hợp $x$ và $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 3

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - - \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + 1 \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 4.2

Nhân $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$ với $1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Bước 5

Giả sử $u = 1 - x^{2}$ . Sau đó $d u = - 2 x d x$ , nên $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Hãy đặt $u = 1 - x^{2}$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.1

Tính đạo hàm $1 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

Bước 5.1.2

Tìm đạo hàm.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $1 - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 5.1.2.2

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 5.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1.3.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 5.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Bước 5.1.3.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$0 - 2 x$

Bước 5.1.4

Trừ $2 x$ khỏi $0$ .

$- 2 x$

Bước 5.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{lower} = 1 - 0^{2}$

Bước 5.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 1 - 0$

Bước 5.3.1.2

Nhân $- 1$ với $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Bước 5.3.2

Cộng $1$ và $0$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 5.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 1 - x^{2}$ .

$u_{upper} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Bước 5.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.5.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Bước 5.5.1.2

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{2^{2}}$

Bước 5.5.1.3

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$u_{upper} = 1 - \frac{1}{4}$

Bước 5.5.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$u_{upper} = \frac{4}{4} - \frac{1}{4}$

Bước 5.5.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$u_{upper} = \frac{4 - 1}{4}$

Bước 5.5.4

Trừ $1$ khỏi $4$ .

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Bước 5.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{3}{4}$

Bước 5.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Bước 6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 6.1

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Bước 6.2

Nhân $\frac{1}{\sqrt{u}}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Bước 6.3

Di chuyển $2$ sang phía bên trái của $\sqrt{u}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{1}^{\frac{3}{4}} - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 7

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Bước 8

Vì $\frac{1}{2}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{2}$ ra khỏi tích phân.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Bước 9

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Sử dụng $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ để viết lại $\sqrt{u}$ ở dạng $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Bước 9.2

Di chuyển $u^{\frac{1}{2}}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Bước 9.3

Nhân các số mũ trong ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.3.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Bước 9.3.2

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $- 1$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Bước 9.3.3

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} \int_{1}^{\frac{3}{4}} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Bước 10

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{- \frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\arccos (x) x]_{0}^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\arccos (x) x$ tại $\frac{1}{2}$ và tại $0$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} 2 u^{\frac{1}{2}}]_{1}^{\frac{3}{4}}$

Bước 11.2

Tính $2 u^{\frac{1}{2}}$ tại $\frac{3}{4}$ và tại $1$ .

$(\arccos (\frac{1}{2}) \frac{1}{2}) - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Kết hợp $\arccos (\frac{1}{2})$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \arccos (0) \cdot 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.3.2

Nhân $0$ với $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 \arccos (0) - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.3.3

Nhân $0$ với $\arccos (0)$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + 0 - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.3.4

Cộng $\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2}$ và $0$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} ((2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}})$

Bước 11.3.5

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1)$

Bước 11.3.6

Nhân $- 2$ với $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$

Bước 11.3.7

Để viết $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot \frac{2}{2}$

Bước 11.3.8

Kết hợp $- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)$ và $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2})}{2} + \frac{- \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Bước 11.3.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - \frac{1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2) \cdot 2}{2}$

Bước 11.3.10

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - 2 (\frac{1}{2}) (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 11.3.11

Kết hợp $- 2$ và $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 2}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 11.3.12

Triệt tiêu thừa số chung của $- 2$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 11.3.12.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.12.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 11.3.12.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 11.3.12.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) + \frac{- 1}{1} (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 11.3.12.2.4

Chia $- 1$ cho $1$ .

$\frac{\arccos (\frac{1}{2}) - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 12

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.1

Giá trị chính xác của $\arccos (\frac{1}{2})$ là $\frac{π}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{3}{4}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2.2

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.1

Viết lại $4$ ở dạng $2^{2}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2.2.4

Tính số mũ.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{\frac{π}{3} - (2 \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2} - 2)}{2}$

Bước 12.1.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{\frac{π}{3} - (3^{\frac{1}{2}} - 2)}{2}$

Bước 12.1.3

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} - - 2}{2}$

Bước 12.1.4

Nhân $- 1$ với $- 2$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} + 2}{2}$

Bước 12.1.5

Để viết $- 3^{\frac{1}{2}}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} - 3^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{3}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.6

Kết hợp $- 3^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π}{3} + \frac{- 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.7

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{1}{2}} \cdot 3}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.8

Nhân $3^{\frac{1}{2}}$ với $3$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.8.1

Di chuyển $3$ .

$\frac{\frac{π - (3 \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.8.2

Nhân $3$ với $3^{\frac{1}{2}}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1.8.2.1

Nâng $3$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{\frac{π - (3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}})}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.8.2.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{\frac{π - 3^{1 + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.8.3

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.8.4

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{2 + 1}{2}}}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.8.5

Cộng $2$ và $1$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2}{2}$

Bước 12.1.9

Để viết $2$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}{2}$

Bước 12.1.10

Kết hợp $2$ và $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}{2}$

Bước 12.1.11

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 3}{3}}{2}$

Bước 12.1.12

Nhân $2$ với $3$ .

$\frac{\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}}{2}$

Bước 12.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Bước 12.3

Nhân $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.3.1

Nhân $\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3}$ với $\frac{1}{2}$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{3 \cdot 2}$

Bước 12.3.2

Nhân $3$ với $2$ .

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$\frac{π - 3^{\frac{3}{2}} + 6}{6}$

Dạng thập phân:

$0.65757337 \dots$