Giải tích Ví dụ

$\int \frac{x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Bước 1

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{5} + 2 x^{4} - x^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + 2 x^{4} - x^{2}}{x^{4}} d x$

Bước 1.1.2

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $2 x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) - x^{2}}{x^{4}} d x$

Bước 1.1.3

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $- x^{2}$ .

$\int \frac{x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Bước 1.1.4

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} x^{3} + x^{2} (2 x^{2})$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1}{x^{4}} d x$

Bước 1.1.5

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{2} (x^{3} + 2 x^{2}) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{4}} d x$

Bước 1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Đưa $x^{2}$ ra ngoài $x^{4}$ .

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Bước 1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\int \frac{x^{2} (x^{3} + 2 x^{2} - 1)}{x^{2} x^{2}} d x$

Bước 1.2.3

Viết lại biểu thức.

$\int \frac{x^{3} + 2 x^{2} - 1}{x^{2}} d x$

Bước 2

Áp dụng các quy tắc số mũ cơ bản.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Di chuyển $x^{2}$ ra ngoài mẫu số bằng cách nâng nó lên lũy thừa $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Bước 2.2

Nhân các số mũ trong ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Bước 2.2.2

Nhân $2$ với $- 1$ .

$\int (x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2} d x$

Bước 3

Khai triển $(x^{3} + 2 x^{2} - 1) x^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int (x^{3} + 2 x^{2}) x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$\int x^{3} x^{- 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.3

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x^{3 - 2} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.4

Trừ $2$ khỏi $3$ .

$\int x^{1} + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.5

Rút gọn.

$\int x + 2 x^{2} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.6

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\int x + 2 x^{2 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.7

Trừ $2$ khỏi $2$ .

$\int x + 2 x^{0} - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.8

Bất kỳ đại lượng nào mũ $0$ lên đều là $1$ .

$\int x + 2 \cdot 1 - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.9

Nhân $2$ với $1$ .

$\int x + 2 - 1 x^{- 2} d x$

Bước 3.10

Di chuyển $2$ .

$\int x - 1 x^{- 2} + 2 d x$

Bước 4

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int x d x + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Bước 5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 1 x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Bước 6

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Bước 7

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x^{- 2}$ đối với $x$ là $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + \int 2 d x$

Bước 8

Áp dụng quy tắc hằng số.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - (- x^{- 1} + C) + 2 x + C$

Bước 9

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 9.1

Rút gọn.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$

Bước 9.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$\frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C$