Giải tích Ví dụ

$0 = - x^{3} + y^{3} - x^{2}$

Bước 1

Tính đạo hàm hai vế của phương trình.

$\frac{d}{d x} (0) = \frac{d}{d x} (- x^{3} + y^{3} - x^{2})$

Bước 2

Vì $0$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $0$ đối với $x$ là $0$ .

$0$

Bước 3

Tính đạo hàm vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- x^{3} + y^{3} - x^{2}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.2.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{3}$ và $g (x) = y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $y$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.3.1.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$- 3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.3.1.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $y$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{d}{d x} [y]$ ở dạng $y'$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Bước 3.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{2}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Bước 3.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - (2 x)$

Bước 3.4.3

Nhân $2$ với $- 1$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x$

Bước 4

Thiết lập lại phương trình bằng cách đặt vế trái bằng vế phải.

$0 = - 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x$

Bước 5

Giải tìm $y'$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Viết lại phương trình ở dạng $- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x = 0$ .

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 2 x = 0$

Bước 5.2

Di chuyển tất cả các số hạng không chứa $y'$ sang vế phải của phương trình.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Cộng $3 x^{2}$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} y' - 2 x = 3 x^{2}$

Bước 5.2.2

Cộng $2 x$ cho cả hai vế của phương trình.

$3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$

Bước 5.3

Chia mỗi số hạng trong $3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$ cho $3 y^{2}$ và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.1

Chia mỗi số hạng trong $3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 2 x$ cho $3 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Bước 5.3.2

Rút gọn vế trái.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{3 y^{2} y'}{3 y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Bước 5.3.2.1.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Bước 5.3.2.2

Triệt tiêu thừa số chung $y^{2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{y^{2} y'}{y^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Bước 5.3.2.2.2

Chia $y'$ cho $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Bước 5.3.3

Rút gọn vế phải.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1

Triệt tiêu thừa số chung $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.3.3.1.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Bước 5.3.3.1.2

Viết lại biểu thức.

$y' = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$

Bước 6

Thay thế $y'$ bằng $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}} + \frac{2 x}{3 y^{2}}$