Giải tích Ví dụ

$y = \sin (x)$ , $y = 5 x$ , $x = \frac{π}{2}$ , $x = π$

Bước 1

Giải bằng phương pháp thay thế để tìm phần giao giữa hai đường cong.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Loại bỏ các vế bằng nhau của mỗi phương trình sau đó kết hợp.

$\sin (x) = 5 x$

Bước 1.2

Vẽ đồ thị mỗi vế của phương trình. nghiệm là giá trị x của giao điểm.

$x = 0$

Bước 1.3

Tính $y$ khi $x = 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Thay $0$ bằng $x$ .

$y = 5 (0)$

Bước 1.3.2

Thế $0$ vào $x$ trong $y = 5 (0)$ và giải tìm $y$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.2.1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$y = 5 (0)$

Bước 1.3.2.2

Nhân $5$ với $0$ .

$y = 0$

Bước 1.4

Đáp án cho hệ là tập hợp đầy đủ của các cặp có thứ tự cũng chính là các đáp án hợp lệ.

$(0, 0)$

Bước 2

Diện tích của vùng giữa các đường cong được xác định bằng tích phân của đường cong trên trừ đi tích phân của đường cong dưới trên mỗi vùng. Các vùng được xác định bởi các giao điểm của các đường cong. Điều này có thể được thực hiện theo phương pháp đại số hoặc phương pháp vẽ đồ thị.

$A r e a = \int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Bước 3

Lấy tích phân để tìm diện tích giữa $\frac{π}{2}$ và $π$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Kết hợp các tích phân thành một tích phân.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - (\sin (x)) d x$

Bước 3.2

Nhân $- 1$ với $\sin (x)$ .

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x - \sin (x) d x$

Bước 3.3

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{\frac{π}{2}}^{π} 5 x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Bước 3.4

Vì $5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $5$ ra khỏi tích phân.

$5 \int_{\frac{π}{2}}^{π} x d x + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Bước 3.5

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Bước 3.6

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) + \int_{\frac{π}{2}}^{π} - \sin (x) d x$

Bước 3.7

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - \int_{\frac{π}{2}}^{π} \sin (x) d x$

Bước 3.8

Tích phân của $\sin (x)$ đối với $x$ là $- \cos (x)$ .

$5 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{π}{2}}^{π}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Bước 3.9

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.1.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$5 ((\frac{π^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (x)]_{\frac{π}{2}}^{π})$

Bước 3.9.1.2

Tính $- \cos (x)$ tại $π$ và tại $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + \cos (\frac{π}{2}))$

Bước 3.9.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.2.1

Giá trị chính xác của $\cos (\frac{π}{2})$ là $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - (- \cos (π) + 0)$

Bước 3.9.2.2

Cộng $- \cos (π)$ và $0$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) - - \cos (π)$

Bước 3.9.2.3

Nhân $- 1$ với $- 1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + 1 \cos (π)$

Bước 3.9.2.4

Nhân $\cos (π)$ với $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{{(\frac{π}{2})}^{2}}{2}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{π}{2}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{2^{2}}}{2}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.1.2

Nâng $2$ lên lũy thừa $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{\frac{π^{2}}{4}}{2}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - (\frac{π^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2})) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.3

Kết hợp.

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2} \cdot 1}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.4

Nhân $π^{2}$ với $1$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{4 \cdot 2}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.5

Nhân $4$ với $2$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.6

Để viết $\frac{π^{2}}{2}$ ở dạng một phân số với mẫu số chung, hãy nhân với $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2}}{2} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.7

Viết mỗi biểu thức với mẫu số chung là $8$ , bằng cách nhân từng biểu thức với một thừa số thích hợp của $1$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.7.1

Nhân $\frac{π^{2}}{2}$ với $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{2 \cdot 4} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.7.2

Nhân $2$ với $4$ .

$5 (\frac{π^{2} \cdot 4}{8} - \frac{π^{2}}{8}) + \cos (π)$

Bước 3.9.3.8

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$5 \frac{π^{2} \cdot 4 - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 3.9.3.9

Di chuyển $4$ sang phía bên trái của $π^{2}$ .

$5 \frac{4 \cdot π^{2} - π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 3.9.3.10

Trừ $π^{2}$ khỏi $4 π^{2}$ .

$5 \frac{3 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 3.9.3.11

Nhân $5 \frac{3 π^{2}}{8}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.9.3.11.1

Kết hợp $5$ và $\frac{3 π^{2}}{8}$ .

$\frac{5 (3 π^{2})}{8} + \cos (π)$

Bước 3.9.3.11.2

Nhân $3$ với $5$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} + \cos (π)$

Bước 3.10

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.10.1

Áp dụng góc tham chiếu bằng cách tìm góc có các giá trị lượng giác tương đương trong góc phần tư thứ nhất. Làm cho biểu thức âm vì cosin âm trong góc phần tư thứ hai.

$\frac{15 π^{2}}{8} - \cos (0)$

Bước 3.10.2

Giá trị chính xác của $\cos (0)$ là $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1 \cdot 1$

Bước 3.10.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{15 π^{2}}{8} - 1$

Bước 4