Giải tích Ví dụ

$lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + {(\frac{i}{n})}^{2}}$

Bước 1

Rút gọn tổng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Áp dụng quy tắc tích số cho $\frac{i}{n}$ .

$\frac{1}{1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Bước 1.1.2

Viết $1$ ở dạng một phân số với một mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{n^{2}}{n^{2}} + \frac{i^{2}}{n^{2}}}$

Bước 1.1.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{\frac{n^{2} + i^{2}}{n^{2}}}$

Bước 1.2

Nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số.

$1 \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Bước 1.3

Nhân $\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$ với $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Bước 1.4

Viết lại tổng.

$\frac{1}{n \sum_{i = 1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}}$

Bước 2

Công thức tính tổng của một hằng số là:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Bước 3

Thay các giá trị vào công thức và hãy chắc chắn rằng chúng được nhân với số hạng phía trước.

$(\frac{1}{n}) ((\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n))$

Bước 4

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1

Triệt tiêu thừa số chung $n$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.1.1

Đưa $n$ ra ngoài $(\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}) (n)$ .

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Bước 4.1.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{n} (n ((\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n))$

Bước 4.1.3

Viết lại biểu thức.

$(\frac{n}{n^{2} + i^{2}}) n$

Bước 4.2

Kết hợp $\frac{n}{n^{2} + i^{2}}$ và $n$ .

$\frac{n \cdot n}{n^{2} + i^{2}}$

Bước 4.3

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{n^{1} n}{n^{2} + i^{2}}$

Bước 4.4

Nâng $n$ lên lũy thừa $1$ .

$\frac{n^{1} n^{1}}{n^{2} + i^{2}}$

Bước 4.5

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$\frac{n^{1 + 1}}{n^{2} + i^{2}}$

Bước 4.6

Cộng $1$ và $1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} + i^{2}}$

Bước 4.7

Rút gọn mẫu số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.1

Viết lại $i^{2}$ ở dạng $- 1$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1}$

Bước 4.7.2

Viết lại $n^{2} - 1$ ở dạng đã được phân tích thành thừa số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 4.7.2.1

Viết lại $1$ ở dạng $1^{2}$ .

$\frac{n^{2}}{n^{2} - 1^{2}}$

Bước 4.7.2.2

Vì cả hai số hạng đều là số chính phương, nên ta phân tích thành thừa số bằng công thức hiệu của hai bình phương, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ trong đó $a = n$ và $b = 1$ .

$\frac{n^{2}}{(n + 1) (n - 1)}$