Giải tích Ví dụ

$lim_{x \to \infty} \frac{2 - x^{3}}{4 x^{5} + 1}$

Bước 1

Chia tử số và mẫu số cho lũy thừa cao nhất của $x$ trong mẫu số, chính là $x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3}}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Triệt tiêu thừa số chung của $x^{3}$ và $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.1

Nhân với $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{5}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.1.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1.2.1

Đưa $x^{3}$ ra ngoài $x^{5}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.1.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{x^{3} \cdot 1}{x^{3} x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.1.2.3

Viết lại biểu thức.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.2

Triệt tiêu thừa số chung $x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.2.2

Chia $4$ cho $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.3

Tách giới hạn bằng quy tắc thương số của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.4

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 2.5

Chuyển số hạng $2$ ra bên ngoài giới hạn vì nó là đại lượng không đổi đối với $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 3

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{5}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 4

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{2}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 5

Tính giới hạn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tách giới hạn bằng quy tắc tổng của giới hạn trên giới hạn khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 5.2

Tính giới hạn của $4$ mà không đổi khi $x$ tiến dần đến $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}$

Bước 6

Vì tử số của nó tiến dần đến một số thực trong khi mẫu số của nó không có biên, nên phân số $\frac{1}{x^{5}}$ tiến dần đến $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{4 + 0}$

Bước 7

Rút gọn kết quả.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Triệt tiêu thừa số chung của $2 \cdot 0 - 0$ và $4 + 0$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Đưa $- 1$ ra ngoài $2 \cdot 0$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - 0}{4 + 0}$

Bước 7.1.2

Đưa $- 1$ ra ngoài $- 0$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0) - (0)}{4 + 0}$

Bước 7.1.3

Đưa $- 1$ ra ngoài $- (- 2 \cdot 0) - (0)$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Bước 7.1.4

Viết lại $- (- 2 \cdot 0 + 0)$ ở dạng $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ .

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{4 + 0}$

Bước 7.1.5

Đưa $4$ ra ngoài $- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 + 0}$

Bước 7.1.6

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.6.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 (1) + 0}$

Bước 7.1.6.2

Đưa $4$ ra ngoài $0$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot 1 + 4 \cdot 0}$

Bước 7.1.6.3

Đưa $4$ ra ngoài $4 \cdot 1 + 4 \cdot 0$ .

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Bước 7.1.6.4

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 (- 1 (- 2 \cdot 0 + 0))}{4 \cdot (1 + 0)}$

Bước 7.1.6.5

Viết lại biểu thức.

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 0 + 0)}{1 + 0}$

Bước 7.2

Rút gọn tử số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.2.1

Nhân $- 2$ với $0$ .

$\frac{- 1 (0 + 0)}{1 + 0}$

Bước 7.2.2

Cộng $0$ và $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1 + 0}$

Bước 7.3

Cộng $1$ và $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 0}{1}$

Bước 7.4

Nhân $- 1$ với $0$ .

$\frac{0}{1}$

Bước 7.5

Chia $0$ cho $1$ .

$0$