Giải tích Ví dụ

$\int_{- 5}^{1} (- 5 x + 4 e^{- x}) d x$

Bước 1

Loại bỏ các dấu ngoặc đơn.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x + 4 e^{- x} d x$

Bước 2

Chia tích phân đơn thành nhiều tích phân.

$\int_{- 5}^{1} - 5 x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Bước 3

Vì $- 5$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $- 5$ ra khỏi tích phân.

$- 5 \int_{- 5}^{1} x d x + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $x$ đối với $x$ là $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 5 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Bước 5

Kết hợp $\frac{1}{2}$ và $x^{2}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + \int_{- 5}^{1} 4 e^{- x} d x$

Bước 6

Vì $4$ không đổi đối với $x$ , hãy di chuyển $4$ ra khỏi tích phân.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{- 5}^{1} e^{- x} d x$

Bước 7

Giả sử $u = - x$ . Sau đó $d u = - d x$ , nên $- d u = d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1

Hãy đặt $u = - x$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 7.1.1

Tính đạo hàm $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Bước 7.1.2

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Bước 7.1.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Bước 7.1.4

Nhân $- 1$ với $1$ .

$- 1$

Bước 7.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{lower} = - - 5$

Bước 7.3

Nhân $- 1$ với $- 5$ .

$u_{lower} = 5$

Bước 7.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1$

Bước 7.5

Nhân $- 1$ với $1$ .

$u_{upper} = - 1$

Bước 7.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 5$

$u_{upper} = - 1$

Bước 7.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 \int_{5}^{- 1} - e^{u} d u$

Bước 8

Vì $- 1$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $- 1$ ra khỏi tích phân.

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) + 4 (- \int_{5}^{- 1} e^{u} d u)$

Bước 9

Nhân $- 1$ với $4$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 \int_{5}^{- 1} e^{u} d u$

Bước 10

Tích phân của $e^{u}$ đối với $u$ là $e^{u}$ .

$- 5 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 5}^{1}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Bước 11

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.1

Tính $\frac{x^{2}}{2}$ tại $1$ và tại $- 5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 (e^{u}]_{5}^{- 1})$

Bước 11.2

Tính $e^{u}$ tại $- 1$ và tại $5$ .

$- 5 ((\frac{1^{2}}{2}) - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 5)}^{2}}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.2

Nâng $- 5$ lên lũy thừa $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2} - \frac{25}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.3

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$- 5 \frac{1 - 25}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.4

Trừ $25$ khỏi $1$ .

$- 5 (\frac{- 24}{2}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.5

Triệt tiêu thừa số chung của $- 24$ và $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.5.1

Đưa $2$ ra ngoài $- 24$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.5.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 11.3.5.2.1

Đưa $2$ ra ngoài $2$ .

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.5.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 5 \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.5.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 5 (\frac{- 12}{1}) - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.5.2.4

Chia $- 12$ cho $1$ .

$- 5 \cdot - 12 - 4 ((e^{- 1}) - e^{5})$

Bước 11.3.6

Nhân $- 5$ với $- 12$ .

$60 - 4 (e^{- 1} - e^{5})$

Bước 12

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 12.1

Viết lại biểu thức bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 - 4 (\frac{1}{e} - e^{5})$

Bước 12.2

Áp dụng thuộc tính phân phối.

$60 - 4 \frac{1}{e} - 4 (- e^{5})$

Bước 12.3

Kết hợp $- 4$ và $\frac{1}{e}$ .

$60 + \frac{- 4}{e} - 4 (- e^{5})$

Bước 12.4

Nhân $- 1$ với $- 4$ .

$60 + \frac{- 4}{e} + 4 e^{5}$

Bước 12.5

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Bước 13

Kết quả có thể được hiển thị ở nhiều dạng.

Dạng chính xác:

$60 - \frac{4}{e} + 4 e^{5}$

Dạng thập phân:

$652.18111864 \dots$

Bước 14