Giải tích Ví dụ

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Bước 1

Giả sử $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Sau đó $d u = (6 x + 12) d x$ , nên $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Viết lại bằng $u$ và $d$ $u$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Hãy đặt $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Tìm $\frac{d u}{d x}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.1

Tính đạo hàm $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Bước 1.1.2

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $3 x^{2} + 12 x + 1$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3

Tính $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.3.1

Vì $3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $3 x^{2}$ đối với $x$ là $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.3.3

Nhân $2$ với $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4

Tính $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.4.1

Vì $12$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $12 x$ đối với $x$ là $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.4.3

Nhân $12$ với $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Bước 1.1.5

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1.5.1

Vì $1$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $1$ đối với $x$ là $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Bước 1.1.5.2

Cộng $6 x + 12$ và $0$ .

$6 x + 12$

Bước 1.2

Thay giới hạn dưới vào cho $x$ trong $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1.1

Nâng $0$ lên bất kỳ số mũ dương nào sẽ cho $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3.1.2

Nhân $3$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Bước 1.3.1.3

Nhân $12$ với $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Bước 1.3.2

Cộng $0$ và $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Bước 1.3.3

Cộng $0$ và $1$ .

$u_{lower} = 1$

Bước 1.4

Thay giới hạn trên vào cho $x$ trong $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Bước 1.5

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1

Rút gọn mỗi số hạng.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.5.1.1

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Bước 1.5.1.2

Nhân $3$ với $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Bước 1.5.1.3

Nhân $12$ với $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Bước 1.5.2

Cộng $3$ và $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Bước 1.5.3

Cộng $15$ và $1$ .

$u_{upper} = 16$

Bước 1.6

Các giá trị tìm được cho $u_{lower}$ và $u_{upper}$ sẽ được sử dụng để tính tích phân xác định.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Bước 1.7

Viết lại bài tập bằng cách dùng $u$ , $d u$ , và các giới hạn mới của phép tích phân.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Bước 2

Kết hợp $u^{\frac{1}{2}}$ và $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Bước 3

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $u$ , hãy di chuyển $\frac{1}{6}$ ra khỏi tích phân.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Bước 4

Theo Quy tắc lũy thừa, tích phân của $u^{\frac{1}{2}}$ đối với $u$ là $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Bước 5

Thay và rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.1

Tính $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ tại $16$ và tại $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.1

Viết lại $16$ ở dạng $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.2

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.3

Triệt tiêu thừa số chung $2$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.3.1

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.3.2

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.4

Nâng $4$ lên lũy thừa $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.5

Kết hợp $\frac{2}{3}$ và $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.6

Nhân $2$ với $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Bước 5.2.7

Một mũ bất kỳ số nào là một.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Bước 5.2.8

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Bước 5.2.9

Kết hợp các tử số trên mẫu số chung.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Bước 5.2.10

Trừ $2$ khỏi $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Bước 5.2.11

Triệt tiêu thừa số chung của $126$ và $3$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.11.1

Đưa $3$ ra ngoài $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Bước 5.2.11.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.11.2.1

Đưa $3$ ra ngoài $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Bước 5.2.11.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Bước 5.2.11.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Bước 5.2.11.2.4

Chia $42$ cho $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Bước 5.2.12

Kết hợp $\frac{1}{6}$ và $42$ .

$\frac{42}{6}$

Bước 5.2.13

Triệt tiêu thừa số chung của $42$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.1

Đưa $6$ ra ngoài $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Bước 5.2.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 5.2.13.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Bước 5.2.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Bước 5.2.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{7}{1}$

Bước 5.2.13.2.4

Chia $7$ cho $1$ .

$7$

Bước 6