Giải tích Ví dụ

$y = - \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$

Bước 1

Tìm đạo hàm bậc một.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- \frac{1}{24} x^{- 4} - \frac{3}{20} x - x^{3} + \frac{5}{18}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{24} x^{- 4}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.1

Vì $- \frac{1}{24}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{1}{24} x^{- 4}$ đối với $x$ là $- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- \frac{1}{24} \frac{d}{d x} [x^{- 4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = - 4$ .

$- \frac{1}{24} (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.3

Nhân $- 4$ với $- 1$ .

$4 (\frac{1}{24}) x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.4

Kết hợp $4$ và $\frac{1}{24}$ .

$\frac{4}{24} x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.5

Kết hợp $\frac{4}{24}$ và $x^{- 5}$ .

$\frac{4 x^{- 5}}{24} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.6

Di chuyển $x^{- 5}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.7

Triệt tiêu thừa số chung của $4$ và $24$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.1

Đưa $4$ ra ngoài $4$ .

$\frac{4 (1)}{24 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.7.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.2.7.2.1

Đưa $4$ ra ngoài $24 x^{5}$ .

$\frac{4 (1)}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.7.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$\frac{4 \cdot 1}{4 (6 x^{5})} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.2.7.2.3

Viết lại biểu thức.

$\frac{1}{6 x^{5}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.3.1

Vì $- \frac{3}{20}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{3}{20} x$ đối với $x$ là $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.3.3

Nhân $- 1$ với $1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} + \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.4

Tính $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.4.1

Vì $- 1$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- x^{3}$ đối với $x$ là $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.4.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 3$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.4.3

Nhân $3$ với $- 1$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{18}]$

Bước 1.5

Vì $\frac{5}{18}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $\frac{5}{18}$ đối với $x$ là $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2} + 0$

Bước 1.6

Rút gọn.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 1.6.1

Cộng $\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$ và $0$ .

$\frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20} - 3 x^{2}$

Bước 1.6.2

Sắp xếp lại các số hạng.

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$

Bước 2

Tìm đạo hàm bậc hai.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 3 x^{2} + \frac{1}{6 x^{5}} - \frac{3}{20}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.2.1

Vì $- 3$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 3 x^{2}$ đối với $x$ là $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.2.3

Nhân $2$ với $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3

Tính $\frac{d}{d x} [\frac{1}{6 x^{5}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.1

Vì $\frac{1}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $\frac{1}{6 x^{5}}$ đối với $x$ là $\frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{5}}$ ở dạng ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{5}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{5}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 5$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.5.2

Nhân $5$ với $- 2$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.6

Nhân $5$ với $- 1$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.7

Nhân $x^{- 10}$ với $x^{4}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.3.7.1

Di chuyển $x^{4}$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.7.3

Trừ $10$ khỏi $4$ .

$- 6 x + \frac{1}{6} (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.8

Kết hợp $- 5$ và $\frac{1}{6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6} x^{- 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.9

Kết hợp $\frac{- 5}{6}$ và $x^{- 6}$ .

$- 6 x + \frac{- 5 x^{- 6}}{6} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.10

Di chuyển $x^{- 6}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 x + \frac{- 5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.3.11

Di chuyển dấu trừ ra phía trước của phân số.

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{20}]$

Bước 2.4

Tìm đạo hàm bằng quy tắc hằng số.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 2.4.1

Vì $- \frac{3}{20}$ là hằng số đối với $x$ , đạo hàm của $- \frac{3}{20}$ đối với $x$ là $0$ .

$- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}} + 0$

Bước 2.4.2

Cộng $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ và $0$ .

$f'' (x) = - 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$

Bước 3

Tìm đạo hàm bậc 3.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.1

Theo Quy tắc tổng, đạo hàm của $- 6 x - \frac{5}{6 x^{6}}$ đối với $x$ là $\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Bước 3.2

Tính $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.2.1

Vì $- 6$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- 6 x$ đối với $x$ là $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Bước 3.2.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 1$ .

$- 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Bước 3.2.3

Nhân $- 6$ với $1$ .

$- 6 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$

Bước 3.3

Tính $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{6}}]$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.1

Vì $- \frac{5}{6}$ không đổi đối với $x$ , nên đạo hàm của $- \frac{5}{6 x^{6}}$ đối với $x$ là $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Bước 3.3.2

Viết lại $\frac{1}{x^{6}}$ ở dạng ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Bước 3.3.3

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng quy tắc chuỗi, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ là $f' (g (x)) g' (x)$ trong đó $f (x) = x^{- 1}$ và $g (x) = x^{6}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.3.1

Để áp dụng quy tắc chuỗi, thiết lập $u$ ở dạng $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.3.2

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ là $n u^{n - 1}$ trong đó $n = - 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.3.3

Thay thế tất cả các lần xuất hiện của $u$ với $x^{6}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Bước 3.3.4

Tìm đạo hàm bằng cách sử dụng Quy tắc lũy thừa, quy tắc nói rằng $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ là $n x^{n - 1}$ trong đó $n = 6$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Bước 3.3.5

Nhân các số mũ trong ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.5.1

Áp dụng quy tắc lũy thừa và nhân các số mũ với nhau, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Bước 3.3.5.2

Nhân $6$ với $- 2$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Bước 3.3.6

Nhân $6$ với $- 1$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Bước 3.3.7

Nhân $x^{- 12}$ với $x^{5}$ bằng cách cộng các số mũ.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.7.1

Di chuyển $x^{5}$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Bước 3.3.7.2

Sử dụng quy tắc lũy thừa $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ để kết hợp các số mũ.

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{5 - 12})$

Bước 3.3.7.3

Trừ $12$ khỏi $5$ .

$- 6 - \frac{5}{6} (- 6 x^{- 7})$

Bước 3.3.8

Nhân $- 6$ với $- 1$ .

$- 6 + 6 (\frac{5}{6}) x^{- 7}$

Bước 3.3.9

Kết hợp $6$ và $\frac{5}{6}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6} x^{- 7}$

Bước 3.3.10

Nhân $6$ với $5$ .

$- 6 + \frac{30}{6} x^{- 7}$

Bước 3.3.11

Kết hợp $\frac{30}{6}$ và $x^{- 7}$ .

$- 6 + \frac{30 x^{- 7}}{6}$

Bước 3.3.12

Di chuyển $x^{- 7}$ sang mẫu số bằng quy tắc số mũ âm $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 + \frac{30}{6 x^{7}}$

Bước 3.3.13

Triệt tiêu thừa số chung của $30$ và $6$ .

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.13.1

Đưa $6$ ra ngoài $30$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Bước 3.3.13.2

Triệt tiêu các thừa số chung.

Nhấp để xem thêm các bước...

Bước 3.3.13.2.1

Đưa $6$ ra ngoài $6 x^{7}$ .

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 (x^{7})}$

Bước 3.3.13.2.2

Triệt tiêu thừa số chung.

$- 6 + \frac{6 \cdot 5}{6 x^{7}}$

Bước 3.3.13.2.3

Viết lại biểu thức.

$- 6 + \frac{5}{x^{7}}$

Bước 3.4

Sắp xếp lại các số hạng.

$f''' (x) = \frac{5}{x^{7}} - 6$